[論文レビュー] From clocks to cloners: Catalytic transformations under covariant operations and recoverability

Iman Marvian, Seth Lloyd|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Asymmetric Hydrogenation and Catalysis被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、相対エントロピーの非対称性が、共変操作（与えられた対称性を保存する対称的量子操作）の下でのカタライティック状態変換の達成可能な忠実度を決定することを確立している。ファウジとレナーの回復性フレームワークを活用することで、非対称性が僅かに増加する場合に高忠実度の変換が可能であることが示され、ペッツ回復写像が最適なクローン化忠実度を達成する。これにより、量子時計から量子クローン化に至る状況が、情報理論的原則として統一される。

ABSTRACT

There are various physical scenarios in which one can only implement operations with a certain symmetry. Under such restriction, a system in a symmetry-breaking state can be used as a catalyst, e.g. to prepare another system in a desired symmetry-breaking state. This sort of (approximate) catalytic state transformations are relevant in the context of (i) state preparation using a bounded-size quantum clock or reference frame, where the clock or reference frame acts as a catalyst, (ii) quantum thermodynamics, where again a clock can be used as a catalyst to prepare states which contain coherence with respect to the system Hamiltonian, and (iii) cloning of unknown quantum states, where the given copies of state can be interpreted as a catalyst for preparing the new copies. Using a recent result of Fawzi and Renner on approximate recoverability, we show that the achievable accuracy in this kind of catalytic transformations can be determined by a single function, namely the relative entropy of asymmetry, which is equal to the difference between the entropy of state and its symmetrized version: if the desired state transition does not require a large increase of this quantity, then it can be implemented with high fidelity using only symmetric operations. Our lower bound on the achievable fidelity is tight in the case of cloners, and can be achieved using the Petz recovery map, which interestingly turns out to be the optimal cloning map found by Werner.

研究の動機と目的

• 共変操作の下でのカタライティック変換という共通の枠組みにおいて、量子時計、熱力学、量子クローン化といった多様な物理的状況を統合すること。
• このような変換の達成可能な忠実度を決定する、単一の情報理論的測度を同定すること。
• 対称的操作の下での非対称状態の生成にかかるリソースコストが、相対エントロピーの非対称性によって測定されることを示すこと。
• ペッツ回復写像が、量子クローン化において最適忠実度を達成することを示し、ヴェルナーが既に示した最適クローン器と一致すること。

提案手法

• カタライティック変換を、系とカタライストの上に作用する共変量子チャネルとして形式化し、カタライストがほぼ変化しないことを仮定する。
• ファウジとレナーの近似的回復可能性定理を適用し、相対エントロピーの非対称性を用いて状態遷移の忠実度の上限を導出する。
• 相対エントロピーの非対称性を、状態のヴォイェン・ニューマン・エントロピーとその対称化されたバージョンとの差として定義する。
• 忠実度の下限に達するための候補チャネルとしてペッツ回復写像を用い、それが既知の最適クローン化チャネルと一致することを示す。
• 非対称性が共変チャネルの下で著しく減少しない場合、別の共変チャネルを用いてプロセスを近似的に逆転できることを一般化する。
• 相対エントロピーの非対称性の増加に基づいて、任意のカタライティック変換の忠実度に対する下限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共変操作の下でのカタライティック状態変換の達成可能な忠実度を決定する、非対称性の単一の測度が存在するか？
• RQ2 対称的操作を用いて対称状態から非対称状態を生成する際のリソースコストは、相対エントロピーの非対称性とどのように関係するか？
• RQ3 ペッツ回復写像は、共変操作の文脈において最適クローン化写像として解釈可能か？
• RQ4 どのような条件下で、対称的量子プロセスを対称的操作のみを用いて近似的に逆転できるか？
• RQ5 ファウジとレナーの回復性フレームワークは、対称性制約付きの量子変換にどの程度適用可能か？

主な発見

• 共変操作の下でのカタライティック変換の達成可能な忠実度は、$ \sqrt{ \frac{d_+(n)}{d_+(n+k)} } $ で下限づけられる。ここで $ d_+(r) = \binom{r+d-1}{d-1} $ は $ r $ 個のクイディットの対称部分空間の次元である。
• この下限はヴェルナー（1998年）が導出した最適クローン化忠実度と一致し、ペッツ回復写像が最適クローン器を実現していることを示している。
• クローン化状況にペッツ回復写像を適用した場合、それは正確に最適クローン化写像に一致し、対称性制約による最適性が確認される。
• 共変チャネルの下で相対エントロピーの非対称性が $ \Delta\Gamma $ 減少する場合、プロセスは忠実度少なくとも $ 2^{-\Delta\Gamma/2} $ で近似的に逆転可能である。
• この結果は一般化され、非対称性の損失が小さい任意の対称的プロセスが、対称的操作のみを用いて近似的に逆転可能であることが示される。
• 相対エントロピーの非対称性は、共変操作の下でのカタライティック変換に対して完全かつタイトな測度として機能し、時計ベースの状態準備と量子クローン化といった、一見異なる物理的状況を統合する。