[論文レビュー] From completeness of discrete translates to phaseless sampling of the short-time Fourier transform

Philipp Grohs, Lukas Liehr+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2022

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ひとこと要約

本稿は、離散的平行移動の完全性と短時間フーリエ変換（STFT）の位相なしサンプリングの間の新しい関係を確立し、関連する平行移動系の密度条件を満たす場合、コンパクトに台を持つ複素数値関数がスペクトログラムのサンプルから一意に回復可能であることを証明している。主な貢献は、ガウス関数やエルミート関数、エアリー・ディスク関数などの非ガウス窓関数を用いた位相なしSTFTサンプリングにおける、初めての回復保証を提供することにある。

ABSTRACT

We study the uniqueness problem in short-time Fourier transform phase retrieval by exploring a connection to the completeness problem of discrete translates. Specifically, we prove that functions in $L^2(K)$ with $K \subseteq \mathbb{R}^d$ compact, are uniquely determined by phaseless lattice-samples of its short-time Fourier transform with window function $g$, provided that specific density properties of translates of $g$ are met. By proving completeness statements for systems of discrete translates in Banach function spaces on compact sets, we obtain new uniqueness statements for phaseless sampling on lattices beyond the known Gaussian window regime. Our results apply to a large class of window functions, which are relevant in time-frequency analysis and applications.

研究の動機と目的

• 離散的平行移動の古典的完全性問題と短時間フーリエ変換（STFT）の現代的位相再構成問題を橋渡しすること。
• コンパクトに台を持つ複素数値関数がそのスペクトログラムのサンプルから一意に回復可能となる十分条件を確立すること。
• コンパクト集合上の連続関数空間における離散的平行移動系の完全性に関する新しい結果を導出すること。
• 非ガウス窓関数を用いた位相なしSTFTサンプリングにおける、初めての理論的回復保証を提供すること。

提案手法

• コンパクト集合 $ K \subseteq \mathbb{R}^d $ 上の $ C(K) $ における離散的平行移動の完全性を活用し、シフト関数の線形包が稠密であることを保証する。
• 平均周期的関数の理論を用いて、$ C(K) $ で平行移動が完全である非平均周期的関数を特徴付ける。
• 窓関数 $ g $ に関連する平行移動系を介して、STFTスペクトログラム $ |V_g f(x,\omega)|^2 $ の構造を分析し、そのサンプリング特性を検討する。
• 複素解析および整関数論を用いて、平行移動系の密度条件のもとで位相なしSTFT写像の単射性を導出する。
• タカギの分解と特異値分解を用い、生成関数の指数部における単位行列から任意の対称行列への結果の一般化を行う。
• 位相再構成問題から生じる関数方程式を満たす整関数の明示的指数形を導出し、一意性の結果に繋げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト集合 $ K \subseteq \mathbb{R}^d $ に対して、平行移動系 $ \mathfrak{T}(f,\Lambda) $ が $ C(K) $ で完全であるための条件は何か？
• RQ2 離散的平行移動の完全性は、関数のスペクトログラムサンプルからの一意回復をどのように保証できるか？
• RQ3 どのような密度条件が、非ガウス窓関数の位相なしSTFT回復を保証するサンプリング格子に要請されるか？
• RQ4 窓関数がガウス関数でない場合、例えばエアリー・ディスク関数やエルミート関数の場合、STFTの位相再構成問題は一意に解けるか？
• RQ5 関数方程式 $ \varphi(z + \lambda) = \psi(z)\sigma(\lambda)e^{-2z^T A \lambda} $ を満たす整関数の構造は何か？ そして、これと位相再構成における一意性の関係は？

主な発見

• コンパクトに台を持つ複素数値関数 $ f \in L^2(\mathbb{R}^d) $ は、関連する平行移動系 $ \mathfrak{T}(g, \Lambda) $ が $ C(K) $ で完全であるようなあるコンパクト集合 $ K \subseteq \mathbb{R}^d $ に対して、そのスペクトログラム $ |V_g f(x,\omega)|^2 $ のサンプルから一意に回復可能である。
• 生成関数 $ g $ が平均周期的でない場合、$ C(K) $ における離散的平行移動の完全性が保証され、回復の十分条件が得られる。
• 本稿は、平均周期的関数およびコンパクト集合に関する先行研究を拡張し、$ C(K) $ における離散的平行移動の完全性に関する新しい結果を確立している。
• ガウス関数、エルミート関数、エアリー・ディスク関数を含む広範な窓関数のクラスに対して、位相なしSTFTサンプリングにより、グローバル位相を除いて一意な回復が可能であることが示された。
• 関数方程式 $ \varphi(z + \lambda) = \psi(z)\sigma(\lambda)e^{-2z^T A \lambda} $ は、明示的指数形 $ \varphi(z) = \exp(-z^T A z + z^T b + c) $ に導き、これが一意性の証明の根拠となる。
• タカギの分解と特異値分解を用いて、任意の対称行列 $ A $ への結果の拡張がなされ、一般のSTFTサンプリング格子への広範な適用可能性が保証された。