[論文レビュー] From constructive field theory to fractional stochastic calculus. (I) The Lévy area of fractional Brownian motion with Hurst index $α\in (1/8,1/4)$

Magnen, J., Unterberger, J.|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 81被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、多重スケールガウス場と構成的場理論を用いて、ホルスト指数 $\alpha \in (1/8, 1/4)$ の2次元分数 Browm運動のLévy面積を厳密に構成する。クラスタ展開、再正則化、およびパワー・カウンティング技術を適用することで、古典的確率積分の破綻するこの粗いパス領域において、弱く相互作用する場の極限として2次反復積分を定義し、代数的でない極限的手順により粗いパス積分を可能にする。

ABSTRACT

Let $B=(B_1(t),\ldots,B_d(t))$ be a $d$-dimensional fractional Brownian motion with Hurst index $α<1/4$. Defining properly iterated integrals of $B$ is a difficult task because of the low Hölder regularity index of its paths. Yet rough path theory shows it is the key to the construction of a stochastic calculus with respect to $B$, or to solving differential equations driven by $B$. We show in this paper how to obtain second-order iterated integrals as the limit when the ultra-violet cut-off goes to infinity of iterated integrals of weakly interacting fields defined using the tools of constructive field theory, in particular, cluster expansion and renormalization. The construction extends to a large class of Gaussian fields with the same short-distance behaviour, called multi-scale Gaussian fields. Previous constructions \cite{Unt-Holder,Unt-fBm} were of algebraic nature and did not provide such a limiting procedure.

研究の動機と目的

• ホルスト正則性が低い（$\alpha < 1/4$）分数 Browm運動に対して、第二階反復積分（特にLévy面積）を厳密に定義すること。これは、古典的確率積分の失敗に起因する。
• 構成的量子場理論の道具を用いて、代数的でない極限的手順により粗いパス積分を定義する。
• 分数 Browm運動と同様の短距離挙動を示す広範なマルチスケールガウス場のクラスへこの枠組みを拡張すること。
• Stratonovich積分の発散を回避するため、再正則化摂動論による明確な極限手続きを構築すること。

提案手法

• ガウス場のマルチスケール分解を用いて、高周波成分と低周波成分を分離し、反復積分の反復的構成を可能にする。
• Brydges-Kennedyのクラスタ展開公式を適用し、相互作用する場の配置からの寄与を再まとめ、発散を制御する。
• パワー・カウンティング推定を用いてフェルミ図の成長をバインドする多スケール再正則化手順を実装する。
• 発散寄与を支配するため、質量補正項と運動量依存性相互作用項を導入し、紫外極限における収束を保証する。
• ガウス的バインドと組み合わせ的推定を用いて、クラスタ展開におけるポリマー寄与を制御する。
• 陰関数定理を用いてスケール依存補正項を解き、それらがスケールに依存しない極限に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホルスト指数 $\alpha \in (1/8, 1/4)$ の分数 Browm運動に対して、古典的伊藤およびストラトノビッチ積分の失敗にもかかわらず、Lévy面積を厳密に構成可能か？
• RQ2 パスが標準的積分に不適切なほど粗い場合、弱く相互作用する場に基づく極限手続きをどのように用いて反復積分を定義できるか？
• RQ3 構成的場理論（特にクラスタ展開と再正則化）が、粗いパス積分の構成における発散を制御する上で果たす役割は何か？
• RQ4 この構成は、分数 Browm運動を超えて、同様の短距離挙動を示すより広範なマルチスケールガウス場のクラスへ拡張可能か？
• RQ5 紫外極限における質量補正項と自由エネルギーの漸近的挙動は何か？ そして、それが全展開の収束を保証する仕組みは？

主な発見

• Lévy面積は、弱く相互作用する場の反復積分の極限として明確に定義され、クラスタ展開と再正則化によって収束が確立された。
• スケールに依存しない質量補正項 $b^j = K M^{j(1-4\alpha)}(1 + O(\lambda))$ が得られ、スケール再正則化に対して安定であることが証明された。
• 本手法は、代数的構成を超える非代数的極限手続きを提供し、粗いパス積分を拡張可能にした。
• パワー・カウンティングと支配性バインドにより、すべての発散寄与が制御され、最悪の場合の発散は $O(\lambda^{9/2})$ 毎区間で抑えられた。
• 2点関数は $\inf(1, \lambda^{-2} M^{-(\rho-j)(1-4\alpha)})$ のオーダーの小さな要因を示し、$\rho \to \infty$ のとき消えることから、摂動展開の収束が確認された。
• スケール $j$ における自由エネルギーは一様に有界であり、全 $n$-点関数が紫外極限で収束することが示され、確率積分の存在が確立された。