[論文レビュー] From flows and metrics to dynamics

Constantin Udrişte, Aneta Udriste|ArXiv.org|Jul 10, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ベクトル場によって定義される任意の流れを、計量に起因する接続と曲率に類似するテンソルを用いて、半リーマン多様体上の保存的力学系に埋め込む幾何的力学フレームワークを提案する。主な結果は、元の流れの軌道が変更された計量空間における準測地線となることである。これは、ポincareの長年の問題を、ローレンツ＝ウドリシュテ世界力則を用いて幾何学的に解決するものである。

ABSTRACT

Recall that a vector field on an n-dimensional differentiable manifold M is a mapping X defined on M with values in the tangent bundle TM that assigns to each point $x\in M$ a vector X(x) in the tangent space $T_x M$. A vector field may be interpreted alternatively as the right-hand side of an autonomous system of first-order ordinary differential equations, i.e., a flow. Now we show that any flow can be enveloped by a conservative dynamics using a semi-Riemann metric g on M. This kind of dynamics was called {\it geometric dynamics} [7]-[9]. The given vector field, the initial semi-Riemann metric, the Levi-Civita connection, and an associated (1,1)-tensor field are used to build a new geometric structure (e.g., semi-Riemann-Jacobi, semi-Riemann-Jacobi-Lagrange, semi-Finsler-Jacobi, etc) on the manifold M ensuring that all the trajectories of a geometric dynamics are pregeodesics (Lorentz-Udrişte world-force law). Implicitly, we solved a problem rised first by Poincaré: find a suitable geometric structure that converts the trajectories of a given vector field into geodesics.

研究の動機と目的

• 与えられた流れ（ベクトル場によって定義）を、半リーマン多様体上での保存的力学系に埋め込むこと。
• 与えられた流れの軌道を測地線に変換する幾何的構造を特定するポincareの問題を解決すること。
• リーマン接続、計量、および(1,1)テンソル場Fを用いて、流れのヘリシティを特徴付ける幾何的力学フレームワークを構築すること。
• 得られる力学系が保存的であり、共通のハミルトニアンに従い、軌道が共形スケーリングされた計量における準測地線となることを示すこと。

提案手法

• 多様体M上の滑らかなベクトル場Xによって定義される流れを、dx/dt = X(x)という1階系として定義する。
• Mに半リーマン計量gを導入し、エネルギーf = ½g(X,X)を定義することで、Xを時的、因果的、光的、空間的と分類する。
• リーマン接続∇を用いて、流れを∇X/dt = ∇_X Xにより2階系に拡張する。
• (1,1)テンソル場F = ∇X − g⁻¹⊗g(∇X)を導入し、ベクトル場Xのヘリシティを特徴付ける。
• 拡張系を∇²x/dt² = grad f + F(dx/dt)に変更することで、共通のハミルトニアンH = ½g(dx/dt, dx/dt) − fを有する保存的力学系を得る。
• 解が、g_ij = (H₀ + f)δ_ijおよびN_j^i = −F_j^iを有するRiemann-Jacobi-Lagrange多様体(M\E, g_ij, N_j^i)における水平準測地線であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた任意の流れ（ベクトル場）を、多様体上の幾何的構造を用いて保存的力学系に埋め込むことができるか？
• RQ2 与えられたベクトル場の軌道を測地線または準測地線に変換する幾何的構造は存在するか？
• RQ3 (1,1)テンソル場F = ∇X − g⁻¹⊗g(∇X)は、流れの力学にどのような役割を果たすか？
• RQ4 このような幾何的力学に対して、ハミルトニアン形式とラグランジュ形式をどのように統合できるか？
• RQ5 変更された系の軌道が、共形スケーリングされた計量における準測地線となる条件は何か？

主な発見

• ∇²x/dt² = grad f + F(dx/dt)という力学系の軌道は、半リーマン・ジャコビ多様体(M\E, ḡ = (H₀ + f)g)における準測地線である。これは、ローレンツ＝ウドリシュテ世界力則が成立することを証明する。
• F = 0の場合、系は∇²x/dt² = grad fに簡略化され、ラグランジアンL = ½g(dx/dt, dx/dt) + f(x)の変分極値となる。
• F ≠ 0の場合、系∇²x/dt² = grad f + F(dx/dt)は、ラグランジアンL = ½g(dx/dt − X, dx/dt − X)に従い、両ケースで同じハミルトニアンH = ½g(dx/dt, dx/dt) − f(x)を有する。
• ABC流れ（カオス的流体流れ）は、R³\E, g_ij, N_j^iを有するRiemann-Jacobi-Lagrange多様体における幾何的力学を生成し、その解は水平準測地線である。ここでg_ij = (H + f)δ_ijである。
• ABC幾何的力学の解は、共形スケーリングされた計量における準測地線であり、平衡集合Eはsin x₁ sin x₂ sin x₃ + cos x₁ cos x₂ cos x₃ = 0で定義される。
• 系は保存的であり、ハミルトニアンHは軌道に沿って一定である。H < 0、H = 0、H > 0の境界値問題は、リーマン的設定でも存在する。