[論文レビュー] From Galois to Hopf Galois: theory and practice

Teresa Crespo, Anna Rio+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、cocommutative Hopf代数を用いたHopf Galois理論を導入することで、分離拡大に対する古典的Galois理論を拡張する。正規閉包のGalois群に関する群論的条件を用いてGalois性を再定式化し、Galois群によって正規化される正規部分群を介してHopf Galois構造を分類する。また、強烈に分岐する拡大におけるGaloisモジュール理論への応用も示している。

ABSTRACT

Hopf Galois theory expands the classical Galois theory by considering the Galois property in terms of the action of the group algebra k[G] on K/k and then replacing it by the action of a Hopf algebra. We review the case of separable extensions where the Hopf Galois property admits a group-theoretical formulation suitable for counting and classifying, and also to perform explicit computations and explicit descriptions of all the ingredients involved in a Hopf Galois structure. At the end we give just a glimpse of how this theory is used in the context of Galois module theory for wildly ramified extensions.

研究の動機と目的

• cocommutative Hopf代数を用いたHopf Galois理論を導入することで、Galois拡大を超えた古典的Galois理論の一般化を図ること。
• Galois群によって正規化される正規部分群を介して、分離拡大におけるHopf Galois構造の群論的特徴付けを提供すること。
• 非Galois拡大において、Galois理論の基本定理がその強い形で成り立つ条件を調査すること。
• Hopf Galois理論の応用を、特に強烈に分岐する拡大におけるGaloisモジュール理論へ拡張すること。
• Hopf順序が数体における整環の自由性を決定する役割を明らかにすること。

提案手法

• 群代数 $k[G]$ が $K$ 上に作用する性質を再定式化し、$k[G]$ を任意の有限cocommutative $k$-Hopf代数 $H$ に一般化すること。
• 拡大 $K/k$ がHopf Galoisであるための必要十分条件として、写像 $(1, u): K \bigotimes_k H \to \operatorname{End}_k(K)$ が同型であることを使うこと。
• Galois降下を用いて、分離拡大におけるHopf Galois構造の分類問題を、Galois群 $G = \mathrm{Gal}(\tilde{K}/k)$ に関連する群論的問題に還元すること。
• Galois群 $G$ が $G/G'$ の陪集合に作用するとき、$S_n$ の正規部分群 $N \leq S_n$ が存在し、$G$ によって正規化されるという条件により、Hopf Galois拡大を特徴付けること。
• Hopf Galois理論の基本定理を用いて、$H$ の部分Hopf代数と $K/k$ の中間体との間に、包含関係を逆転する一対一対応を確立すること。
• Galoisモジュール理論を拡張し、関連順序 $\mathfrak{A}_H = \{\alpha \in H \mid \alpha(x) \in \mathcal{O}_K \text{ for all } x \in \mathcal{O}_K\}$ を定義し、$\mathcal{O}_K$ の自由性が $\mathfrak{A}_H$ が $H$ のHopf順序であることに依存することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離拡大 $K/k$ がHopf Galoisであるための群論的条件は何か？
• RQ2 非Galois拡大において、Galois理論の基本定理がその強い形で成り立つのはいつか？
• RQ3 Hopf Galois理論を用いて、強烈に分岐する拡大における整環 $\mathcal{O}_K$ の自由性を特定できるか？
• RQ4 Hopf Galois性の推移性は、体の拡大の鎖においてどのように振る舞うか？
• RQ5 Hopf順序は、非たやすく分岐する拡大へのNoetherの定理の一般化において、果たす役割は何か？

主な発見

• 次数 $n$ の分離拡大 $K/k$ がHopf Galoisであるための必要十分条件は、$G = \mathrm{Gal}(\tilde{K}/k)$ が $G/G'$ の陪集合に作用するとき、$S_n$ の正規部分群 $N$ が存在して $G$ によって正規化されることである。
• Galois理論の基本定理が $K/k$ に対してその強い形で成り立つための必要十分条件は、$K/k$ がほぼ古典的にGalois的であること、すなわち $N \leq G$ であることである。
• Galois群が $S_4(6c)$, $S_4(6d)$, $F_{36}$, $2S_4$, $A_5$, $F_{36}:2$, $A_6$, および $S_6$ である拡大では、Hopf Galois構造は存在しないが、いくつかはほぼ古典的にGalois的構造を有する。
• 推移性定理は、$K/k$ および $F/K$ がHopf Galoisであれば $F/k$ もHopf Galoisであるが、逆は一般には成り立たないことを示す。
• 強烈に分岐する拡大では、$\mathfrak{A}_H$ が $H$ のHopf順序であれば、$\mathcal{O}_K$ は関連順序 $\mathfrak{A}_H$ 上で自由である。これはNoetherの定理の一般化である。
• あるGalois拡大では、$\mathcal{O}_K$ は $\mathfrak{A}_{k[G]}$ 上で自由ではないが、非古典的Hopf代数 $H$ に対しては $\mathfrak{A}_H$ 上で自由である。これは、Hopf Galois構造がモジュール理論において有効であることを示している。