[論文レビュー] From geometric to function-theoretic Langlands (or how to invent shtukas)

Dennis Gaitsgory|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、関数体上の幾何的Langlands双対性と関数論的Langlands双対性を圏論的枠組みで結びつける。具体的には、自己同型関数の空間が、自己同型層の圏上のフロベニウス自己準同型のトレースとして生じることを示す。主な貢献は、トレース操作を介して幾何的Langlands構造を関数論的構造へと関手的に持ち上げる構成であり、グローバル非分岐Drinfeld-Hecke固有対象を回復する精錬された対象 $τ_{ ext{Drinf}_x}$ が得られる。

ABSTRACT

This is an informal note that explains that the classical Langlands theory over function fields can be obtained from the geometric one by taking the trace of Frobenius. The operation of taking the trace of Frobenius takes place at the categorical level, and this we deduce that the space of automorphic functions is the trace of the Frobenius on the category of automorphic sheaves.

研究の動機と目的

• 関数体上の幾何的Langlandsプログラムと関数論的Langlandsプログラムの間の概念的ブリッジを確立すること。
• 自己同型関数が自己同型D-加群の圏上のフロベニウスのトレースとして生じることを示すこと。
• 幾何的Langlandsにおける圏的構成を精錬し、関数論的設定における固有対象を生成すること。
• グローバル非分岐Drinfeld固有対象が、局所およびグローバルHecke代数を含むトレース構成から生じることを示すこと。

提案手法

• 特に $\operatorname{D-mod}(\mathcal{Y})$ を含む双対的DG圏上のフロベニウスのカテゴリカルトレースを用い、自己同型関数を抽出する。
• ベースチェンジおよびベルジュエ双対性を適用して、トレースを固定点集合 $\mathcal{Y}^F$ のボレル＝モアリー同調群として計算する。
• トレースの関手的性を扱う2カテゴリカル枠組みを導入し、Hecke対応と整合性を保つ。
• 局所およびグローバル $\operatorname{LocSys}$ 上の $\operatorname{QCoh}$-圏のテンソル積における、$D(\operatorname{Bun}_G^{\text{level}_x})$ 上のフロベニウスのトレースを用いて、精錬された対象 $\operatorname{Drinf}_x$ を構成する。
• Drinfeldのカーネル形式的を用い、テンソル積が正確でない場合でも、函手をカーネルとして導来圏内で扱えるようにする。
• 自然な函手による $\operatorname{Drinf}_x$ の像が、グローバル非分岐Drinfeld固有対象 $\operatorname{Drinf}$ に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数論的Langlands対応は、カテゴリカルトレース操作を介して幾何的対応からどのように導出可能か？
• RQ2 $\mathbb{F}_q$ 上のスタックの文脈において、自己同型層上のフロベニウスのトレースをとるカテゴリカル意味は何か？
• RQ3 トレース構成の関手的性は、Hecke作用素および自己同型形式とどのように関係するか？
• RQ4 グローバル非分岐Drinfeld固有対象は、局所およびグローバルHecke代数の圏上のトレース構成から再構成可能か？
• RQ5 $D(G(\mathcal{K}))^{\operatorname{Ad}_{\operatorname{Frob}}(G(\mathcal{K}))}$ の役割は、自己同型関数をどのように符号化しているか？

主な発見

• 関数体 $\mathbb{F}_q$ 上の自己同型関数の空間は、$D(\operatorname{Bun}_G^{\text{level}_x})$ 上の幾何的フロベニウスのトレースと同型であり、すなわち $\operatorname{Tr}(\operatorname{Frob}^{!}, D(\operatorname{Bun}_G^{\text{level}_x})) \simeq \operatorname{Funct}(\operatorname{Bun}_G^{\text{level}_x}(\mathbb{F}_q), \overline{\mathbb{Q}}_\ell)$ が成り立つ。
• $\Gamma(\operatorname{LocSys}^\text{arthm}_\text{glob}, \mathcal{O})$ の自己同型関数への作用は、フロベニウスのトレースを介して生じ、標準的なHecke作用に一致する。
• $\operatorname{Drinf}_x$ は、局所およびグローバル $\operatorname{LocSys}$ 上の $\operatorname{QCoh}$-圏のテンソル積におけるトレースとして構成され、精錬された固有構造を符号化する。
• $\operatorname{Drinf}_x$ の自然な函手による像は、グローバル非分岐Drinfeld固有対象 $\operatorname{Drinf}$ に一致し、固有性の圏論的持ち上げを確立する。
• この構成により、グローバル非分岐固有対象は新規ではなく、幾何的データ上のトレース操作から生じることが示され、幾何的および関数論的視点が統合される。
• この枠組みにより、フロベニウス作用を層の圏から関数空間へ持ち上げることで、カテゴリカルトレースを用いてshtukaを体系的に「発明」する方法が得られる。