[論文レビュー] From Knothe's rearrangement to Brenier's optimal transport map

Nicolas Bonnotte|arXiv (Cornell University)|May 5, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、トーラス上でのKnotheの再配置とBrenierの最適輸送写像の間を滑らかに補間するPDEに基づく継続的手法を確立する。Nash–Moser逆関数定理を用いて、Kantorovich汎関数のための退化するPDEが、非自明な初期条件のもとで時間発展を支配することを示す。この結果は、従来のODEに基づく結果を一般化し、最適輸送の数値的アプローチに新たな道を開く。

ABSTRACT

The Brenier optimal map and the Knothe-Rosenblatt rearrangement are two instances of a transport map, that is to say a map sending one measure onto another. The main interest of the former is that it solves the Monge-Kantorovich optimal transport problem, while the latter is very easy to compute, being given by an explicit formula. A few years ago, Carlier, Galichon, and Santambrogio showed that the Knothe rearrangement could be seen as the limit of the Brenier map when the quadratic cost degenerates. In this paper, we prove that on the torus (to avoid boundary issues), when all the data are smooth, the evolution is also smooth, and is entirely determined by a PDE for the Kantorovich potential (which determines the map), with a subtle initial condition. The proof requires the use of the Nash-Moser inverse function theorem. This result generalizes the ode discovered by Carlier, Galichon, and Santambrogio when one measure is uniform and the other is discrete, and could pave to way to new numerical methods for optimal transportation.

研究の動機と目的

• トーラス上でのKnotheの再配置からBrenierの最適輸送写像への滑らかで連続的な変形を確立すること。
• 時間パラメータtの変化に伴う輸送写像の時間発展を、非自明な初期条件をもつKantorovich汎関数のPDEの解として特徴づけること。
• 滑らかなデータの仮定の下で、退化コスト構造に対する従来のODEベースの結果を、完全なPDEフレームワークへ一般化すること。
• 継続的手法を用いた最適輸送の数値的アプローチの理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 本稿では、Knotheの再配置とBrenierの写像の間の遷移を、退化パラメータtでパrameter化された一意の輸送写像族として定式化する。
• tが0（Knothe）から1（Brenier）に変化する際の最適写像の時間発展を支配するKantorovich汎関数ψ(t,x)のPDEを導出する。
• PDEはt=0で退化しており、解の存在性と滑らかさを示すためにNash–Moser逆関数定理の適用が必要となる。
• 解の線形化作用素の係数の精密な制御と、汎関数のヘッセ行列の再帰的分解に依存する。
• 高階ノルムの制御のため、Poincaré型不等式と重み付きL²推定を用いる。
• Sobolev空間C^nにおいて構築され、微分作用素の係数が汎関数のC^{n+2}ノルムに関して一様有界となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Knothe–Rosenblattの再配置を、連続的な経路を介してBrenierの最適輸送写像へ滑らかに変形することは可能か？
• RQ2 この経路に沿ったKantorovich汎関数の時間発展を支配するPDEは何か？
• RQ3 t=0における初期条件は、標準的なODEの場合とどのように異なり、その構造は何か？
• RQ4 退化PDE系に対してNash–Moser定理を適用可能か？
• RQ5 本フレームワークは、一様および離散測度に対する既知のODE結果を、トーラス上での滑らかで一般の測度へ一般化するか？

主な発見

• Knotheの再配置からBrenierの写像への最適輸送写像の時間発展は滑らかであり、トーラス上でのKantorovich汎関数のPDEによって支配される。
• PDEはt=0で非自明な初期条件を持つ。これは本質的であり、単純なODE形式に還元することはできない。
• 初期測度の滑らかさの仮定のもとで、すべてのnについてSobolev空間C^nにおいて解が存在し、滑らかである。
• PDEがt=0で退化するため、解の存在と滑らかさの証明にはNash–Moser逆関数定理が不可欠である。
• Carlier, Galichon, および Santambrogioの以前のODE結果を、滑らかなデータを仮定した完全なPDEフレームワークへ一般化した。
• 本フレームワークは、継続的手法とPDEソルバーを用いた最適輸送の数値的アプローチのための新たな理論的基盤を提供する。