[論文レビュー] From left modules to algebras over an operad: application to combinatorial Hopf algebras

Muriel Livernet|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 37

ひとこと要約

この論文は、アソシエイティブ・バイアルゲブラに対するPatrasとReutenauerの対称化および余対称化の構成を、任意のオペラッドへ一般化し、S-加群から次数付きベクトル空間への忘却関手が特定の条件下で代数的およびホップ代数的構造を保存することを示している。主な貢献は、ホップオペラッド上での対称化および余対称化構造を通じて、パーミュトヒドロンやアソシアヘドロンの上に構築された多くの組合せ的ホップ代数の自由性および余自由性を説明する体系的なオペラッド的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

The purpose of this paper is two fold: we study the behaviour of the forgetful functor from S-modules to graded vector spaces in the context of algebras over an operad and derive from this theory the construction of combinatorial Hopf algebras. As a byproduct we obtain freeness and cofreeness results for these Hopf algebras. Let O denote the forgetful functor from S-modules to graded vector spaces. Left modules over an operad P are treated as P-algebras in the category of S-modules. We generalize the results obtained by Patras and Reutenauer in the associative case to any operad P: the functor O sends P-algebras to P-algebras. If P is a Hopf operad then O sends Hopf P-algebras to Hopf P-algebras. If the operad P is regular one gets two different structures of Hopf P-algebras in the category of graded vector spaces. We develop the notion of unital infinitesimal P-bialgebra and prove freeness and cofreeness results for Hopf algebras built from Hopf operads. Finally, we prove that many combinatorial Hopf algebras arise from our theory, as Hopf algebras on the faces of the permutohedra and associahedra.

研究の動機と目的

• アソシエイティブ代数から任意のオペラッドへ、PatrasとReutenauerの対称化および余対称化の構成を一般化すること。
• オペラッド上の代数の文脈において、S-加群から次数付きベクトル空間への忘却関手Oの振る舞いを研究すること。
• S-加群上のホップ構造が次数付きベクトル空間上のホップ構造へと降下するための条件を確立すること。
• さまざまな組合せ的ホップ代数の自由性および余自由性を一元的にオペラッド的枠組みで説明すること。
• パーミュトヒドロンおよびアソシアヘドロン上のホップ代数が、この枠組みから自然に生じることを示すこと。

提案手法

• オペラッドPに対する左加群を、S-加群の圏におけるP代数として定義する。
• 対称化および余対称化関手を導入し、S-加群Mの基底となる次数付きベクトル空間O(M)上にP代数構造を構成する。
• Pが正則オペラッドであれば、O(M)上に2つの異なるP代数構造が生じ、PatrasとReutenauerの対称化および余対称化積を一般化することを証明する。
• S-加群の圏におけるホップP代数を定義し、Pがホップオペラッドであれば、忘却関手がホップ構造を保存することを示す。
• 単位的インフィニティズマルPバイアルゲブラを構成し、ホップオペラッドから導かれるホップ代数の自由性および余自由性の結果を証明する。
• As、Dend、TriDend、CTD、Zinなどの特定のオペラッドにこの枠組みを適用し、それらの基底となるS-加群が組合せ的ホップ代数を生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S-加群から次数付きベクトル空間への忘却関手Oは、オペラッドP上の代数的構造とどのように作用するか？
• RQ2 S-加群上のP代数が、その基底となる次数付きベクトル空間上にP代数を誘導するための条件は何か？
• RQ3 アソシエイティブバイアルゲブラに対する対称化および余対称化の構成を、任意のオペラッドへ一般化できるか？
• RQ4 S-加群上のホップP代数が、その基底となる次数付きベクトル空間上にホップP代数を誘導するための条件は何か？
• RQ5 組合せ的ホップ代数の自由性および余自由性の性質は、どのようにオペラッド的構造から生じるか？

主な発見

• P代数がS-加群上にある場合、対称化を通じて、忘却関手Oがその基底となる次数付きベクトル空間上でのP代数構造を保存することが示された。
• 正則オペラッドの場合、O(M)上に2つの異なるP代数構造が生じ、PatrasとReutenauerの対称化および余対称化積を一般化する。
• Pがホップオペラッドであれば、忘却関手はホップP代数構造を保存し、基底となる次数付きベクトル空間上にホップP代数を誘導する。
• TriDend、Dend、CTD、Zinなどのオペラッドに対して、ホップ代数および単位的インフィニティズマルバイアルゲブラの図式が得られ、単射および全射な準同型が存在する。
• パーミュトヒドロンおよびアソシアヘドロン上の組合せ的ホップ代数は、この枠組みから自然に生じる。これには、平面2分木上のLoday-Roncoホップ代数も含まれる。
• 多くの組合せ的ホップ代数の自由性および余自由性は、それらの背後にあるオペラッド的およびS-加群的構造の結果として説明される。