[論文レビュー] From level 2.5 to level 2 large deviations for continuous time Markov chains

Lorenzo Bertini, Alessandra Faggionato+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2012

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、先行研究で確立された、経験的測度と経験的フローの連合大偏差原理を用いて、連続時間マーカフチェーンの経験的測度に対するDonsker–Varadhan大偏差原理を、縮約原理を適用することによって、新たな導出を提供する。主な貢献は、レート関数の二重表現である：Donsker–Varadhanの形で得られる上界（supremum）と、縮約によって得られる下界（infimum）であり、有限状態空間におけるこれらの形の一致は、Fenchel–Rockafellar双対性に起因する。

ABSTRACT

We recover the Donsker-Varadhan large deviations principle (LDP) for the empirical measure of a continuous time Markov chain on a countable (finite or infinite) state space from the joint LDP for the empirical measure and the empirical flow proved in [2].

研究の動機と目的

• 連続時間マーカフチェーンの経験的測度に対するDonsker–Varadhan大偏差原理（LDP）の代替的証明を提供すること。
• 先行研究[2]で確立された経験的測度と経験的フローの連合LDPから、縮約を用いて経験的測度のLDPを導出すること。
• レート関数の二重表現を確立すること：一つは上界（標準的なDonsker–Varadhan形式）であり、もう一つは下界（縮約プロセスから得られる形式）。
• 有限次元の場合に、レート関数の上界と下界の形の双対性がFenchel–Rockafellar双対性の特殊な例であることを示すこと。

提案手法

• 先行研究[2]で確立された、経験的測度と経験的フローの連合大偏差原理（LDP）を基礎的事実として用いる。
• 縮約原理を適用して、連合LDPから経験的測度のLDPを導出する。
• 経験的測度μ_Tを、経路に沿ったディラック測度の時間平均として定義し、経験的フローQ_Tを、状態間の遷移回数の時間平均として定義する。
• フロー上の発散作用素を導入し、μに付随するフローQ^μの発散が消えることによって不変測度を特徴付ける。
• Fenchel–Rockafellar双対性を用いて、レート関数の上界と下界の形を関連付ける。
• 有向グラフ上の勾配関数の幾何的特徴付けを用いて、双対レート関数の台を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経験的測度と経験的フローの連合LDPから、経験的測度のDonsker–Varadhan LDPを縮約を用いて導出可能か？
• RQ2 Donsker–Varadhanによる上界形のレート関数と、縮約から得られる下界形のレート関数との関係は何か？
• RQ3 有限状態空間において、レート関数の二つの形の一致は、凸双対性のどの側面に起因するか？
• RQ4 一般化パスを介して記述されるグラフ構造のどの幾何的条件が、関数がエッジ集合上で勾配関数であるかを決定するか？
• RQ5 フローの発散なし条件が、レート関数の双対表現において果たす役割は何か？

主な発見

• 経験的測度のDonsker–Varadhan LDPが、経験的測度と経験的フローの連合LDPからの縮約を用いて、うまく回復された。
• レート関数I(μ)は二重の表現を持つ：正の関数hに関する−⟨μ, h⁻¹Lh⟩の上界（supremum）としての表現と、発散なしフローQに関する相対エントロピーΦ(Q|Q^μ)の下界（infimum）としての表現。
• 有限状態空間の場合、上界と下界の形の双対性は、Fenchel–Rockafellar双対性定理と等価である。
• エッジ集合E_μ上の関数fが勾配（f = ∇g）であるための必要十分条件は、同じ端点を持つ任意の二つの一般化パスに沿ったfの積分値が等しいことである。
• 双対レート関数ψ*(f)は、fが勾配であれば0、そうでなければ無限大であり、これは双対レート関数の台がパスに沿った積分の不変性（パス独立性）によって特徴付けられることを示す。
• 証明から、基礎となるグラフの幾何的構造、特に非同相なサイクルの存在が、関数が勾配でないことを示す要因となり、その結果、双対値が無限大になることが明らかになった。