[論文レビュー] From limits of quantum nonlinear operations to multicopy entanglement witnesses and state spectrum estimation

Paweł Horodecki|ArXiv.org|Nov 6, 2001

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、量子力学の線形性により、未知の量子状態 ϱ を n 個のコピーからその n 乗 ϱⁿ に変換することは根本的になされないことを確立している。しかし、Tr(ϱ²) や高次のタリスエントロピーといった非線形関数は、2 個のコピーに対する結合測定を用いた「マルチコピー観測量」により測定可能であり、これにより最小限のリソースで実用的なもつれ検出およびスピンエントロピー推定が可能になる。

ABSTRACT

Limits of nonlinear in quantum mechanics are studied. Impossibility of physical implementation of the transformation $\varrho^{\otimes n} o \varrho^{n}$ in quantum mechanics is proved. For sake of further analysis the simplest notion of structural completely positive approximation (SCPA) and structural physical approximations (SPA) of unphysical map are introduced. Both always exist for linear hermitian maps and can be optimised under natural assumptions. However it is shown that some intuitively natural SPA of the nonlinear operation $\varrho^{\otimes 2} o \varrho^{2}$ that was already proven to be unphysical is impossible. It is conjectured that there exist no SPA of the operation $\varrho^{\otimes n} o \varrho^{n}$ at all. It is pointed out that, on the other hand, it is physically possible to measure the trace of the second power of the state $Tr(\varrho^{2})$ if only two copies of the system are available. This gives the interpretation of one of Tsallis entropy as mean value of some ``multicopy'' observable. The (partial) generalisation of this idea shows that each of higher order Tsallis entropies can be measured with help of only two multicopy observables. Following this observations the notion of multicopy entanglement witnesses is defined and first example is provided. Finally, with help of multicopy observables simple method of spectrum state estimation is pointed out and discussed.

研究の動機と目的

• 非線形量子操作の根本的限界を調査すること、特に n 個の量子状態のコピーをその n 乗に変換すること。
• 構造的物理的近似（SPA）といった物理的に実現可能な近似が、このような非物理的写像を実現できるかを検討すること。
• Tr(ϱⁿ) やタリスエントロピーといった量子状態の非線形関数を、複数のコピーに対する結合測定を用いて測定する実用的手法を開発すること。
• 「マルチコピー観測量」を導入し、もつれ検出および量子状態スピン推定における有用性を示すこと。
• 少量のコピーのみを用いてもつれ条件のテストが可能な、エントロピー的不等式に基づく分離性のフレームワークを提供すること。

提案手法

• 非物理的写像の物理的実現可能な近似として、構造的完全正則近似（SCPA）および構造的物理的近似（SPA）を導入し、一般化ブロッホベクトルの方向を保存する。
• 線形自己随伴写像に対して SCPA および SPA が常に存在することを証明し、縮小係数 γ の連続性仮定の下で最適化可能であることを示す。
• 非線形写像 ϱ⊗² → ϱ² のトレース保存型 SPA が存在しないことを示し、一般に n ≥ 2 に対して ϱ⊗ⁿ → ϱⁿ に対しては同様の SPA が存在しないと予想する。
• 「マルチコピー観測量」——複数の系のコピーに作用するエルミート演算子——を提案し、その期待値が Tr(ϱ²) のような非線形関数を測定可能であることを示す。
• 一般化されたスワップ演算子を用いて、2 個のコピーからの結合測定を実装し、Tr(ϱ²) を抽出することで、タリスエントロピー S₂ の物理的測定を可能にする。
• マルチコピー観測量フレームワークを応用し、最大 dim(H) 個のコピーからの集団測定で 2dim(H)−3 パrameters のみを用いて、未知の量子状態のスピンを推定する手法を提案する。これはフルトロポロジーに比べてリソースコストを著しく削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未知の状態 ϱ を用いた n 個のコピーから ϱ⊗ⁿ → ϱⁿ への非線形量子操作は、n 個のコピーを用いて物理的に実装可能か？
• RQ2 写像 ϱ⊗² → ϱ² のトレース保存型構造的物理的近似（SPA）は存在するか？もし存在しないなら、その理由は何か？
• RQ3 Tr(ϱⁿ) のような量子状態の非線形関数は、有限個のコピーに対する結合測定を用いて測定可能か？
• RQ4 マルチコピー観測量を用いて、エントロピー的分離性基準に基づくもつれ検出が可能か？その場合、何枚のコピーが必要か？
• RQ5 集団測定を用いて少量のコピーから未知の量子状態のスピンを推定可能か？フル量子状態トロポロジーと比較してどのように異なるか？

主な発見

• 量子力学の線形性により、未知の状態 ϱ に対して ϱ⊗ⁿ → ϱⁿ の変換は、近似的でさえも根本的になされない。
• 写像 ϱ⊗² → ϱ² の自然なトレース保存型 SPA は存在せず、一般に n ≥ 2 に対して ϱ⊗ⁿ → ϱⁿ に対しては同様の SPA が存在しないと予想される。
• トレースの第二乗 Tr(ϱ²) は、一般化されたスワップ演算子を用いた 2 個のコピーに対する結合測定により測定可能である。
• タリスエントロピー S₂ は、2 クリック観測量の期待値として物理的に解釈可能であり、直接的な操作的意味を持つ。
• q > 2 の高次タリスエントロピー S_q は、2 つのマルチコピー観測量のみを用いて推定可能であり、エントロピー的分離性基準の効率的テストを可能にする。
• 未知状態のスピン推定のための手法を提案し、最大 dim(H) 個のコピーからの集団測定で 2dim(H)−3 パrameters のみを必要とし、フルトロポロジーに比べてリソースコストを著しく削減する。