[論文レビュー] From Loop Groups to 2-Groups

John C. Baez, Alissa S. Crans+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、単連結なコンパクトな単純なリー群 $G$ とレベル $k\in\mathbb{Z}$ に対して関連する Lie 2代数 $\frak{g}_k$ と同値な Lie 2代数を持つ無限次元 Fréchet リー 2群 $\tilde{\rm P}_kG$ を構成する。主な結果は、$k\neq 0$ のとき $\frak{g}_k$ は有限次元のリー 2群に統合できないが、$G$ の基点付きパスと、ループ群 $\Omega G$ のレベル $k$ の Kac–Moody 中心拡大から構成される無限次元リー 2群 $\tilde{\rm P}_kG$ に統合可能であるということである。特に $G={\rm Spin}(n)$ かつ $k=\pm1$ のとき、その幾何的実現はストリング群 ${\rm String}(n)$ にホモトピー同値である。これは高次ゲージ理論における長年の障害を解消し、高次カテゴリカル構造を通じてストリング群の幾何的モデルを提供する。

ABSTRACT

We describe an interesting relation between Lie 2-algebras, the Kac-Moody central extensions of loop groups, and the group $\mathrm{String}(n)$. A Lie 2-algebra is a categorified version of a Lie algebra where the Jacobi identity holds up to a natural isomorphism called the "Jacobiator". Similarly, a Lie 2-group is a categorified version of a Lie group. If $G$ is a simply-connected compact simple Lie group, there is a 1-parameter family of Lie 2-algebras $\mathfrak{g}_k$ each having $\mathrm{Lie}(G)$ as its Lie algebra of objects, but with a Jacobiator built from the canonical 3-form on $G$. There appears to be no Lie 2-group having $\mathfrak{g}_k$ as its Lie 2-algebra, except when $k = 0$. Here, however, we construct for integral k an infinite-dimensional Lie 2-group whose Lie 2-algebra is equivalent to $\mathfrak{g}_k$. The objects of this 2-group are based paths in $G$, while the automorphisms of any object form the level-$k$ Kac-Moody central extension of the loop group of $G$. This 2-group is closely related to the $k$th power of the canonical gerbe over $G$. Its nerve gives a topological group that is an extension of $G$ by $K(\mathbb{Z},2)$. When $k = \pm 1$, this topological group can also be obtained by killing the third homotopy group of $G$. Thus, when $G = \mathrm{Spin}(n)$, it is none other than $\mathrm{String}(n)$.

研究の動機と目的

• $k\neq 0$ のとき、Lie 2代数 $\frak{g}_k$ が有限次元のリー 2群に統合できないという障害を解消すること。
• 特に、高次カテゴリカル構造、具体的にはリー 2群を用いてストリング群 ${\rm String}(n)$ の幾何的モデルを構築すること。
• ループ群 $\Omega G$ のレベル $k$ の Kac–Moody 中心拡大と、リー 2群構造における自己同型の間の明確な対応関係を確立すること。
• $G={\rm Spin}(n)$ かつ $k=\pm1$ のとき、構築されたリー 2群 $\tilde{\rm P}_kG$ の幾何的実現がホモトピー同値に ${\rm String}(n)$ に一致することを示すこと。
• $\pi_3(G)$ を消去することで得られる位相群 $\hat{G}$ の新しい幾何的実現を、パス空間と中心拡大から構成されるリー 2群構造を用いて提供すること。

提案手法

• $G$ の基点付きループを対象とし、固定された対象上での射は、ループ群 $\Omega G$ のレベル $k$ の Kac–Moody 中心拡大の元であるようなリー 2群 $\tilde{\rm P}_kG$ を構成する。
• レベル $k$ の Kac–Moody 中心拡大における群乗法を用いて、射の合成を定義する。ここには Kac–Moody 2次コchain $k\omega$ が含まれる。
• 基点付きパス（$G$ 内）の集合と、中心拡大付きの基点付きループ（射）の集合に、Fréchet多様体構造を導入し、無限次元設定における滑らかさを保証する。
• ナーヴェ構成を用いて、リー 2群 $\tilde{\rm P}_kG$ から位相群 $|\tilde{\rm P}_kG|$ に移行する。この群は $G$ と $K(\mathbb{Z},2)$ の拡大であることが示される。
• $k=\pm1$ かつ $G={\rm Spin}(n)$ のとき、幾何的実現 $|\tilde{\rm P}_kG|$ が ${\rm String}(n)$ にホモトピー同値であることを示す。これは、$\pi_3$ を消去したループ群の普遍被覆である。
• $\frak{g}_k$ と $\tilde{\frak{P}}_k\frak{g}$（$\tilde{\rm P}_kG$ のリー 2代数）の間の同値性を、自然な同型の鎖を通じて確立する。これにより、$\frak{g}_k$ のジャコビェーターが $G$ 上の標準的左不変 3形式 $\nu$ から生じることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単連結なコンパクトな単純なリー群 $G$ の上に定義された標準的 3形式から生じる Lie 2代数 $\frak{g}_k$ が、整数 $k$ に対してリー 2群に統合可能かどうか。
• RQ2 標準的な $\frak{g}_k$ から 2群を構成する方法が $k\neq 0$ のとき滑らかなリー 2群を生じない理由は何か。この障害はどのように克服できるか。
• RQ3 リー 2群 $\tilde{\rm P}_kG$ の幾何的実現とは何か。ストリング群 ${\rm String}(n)$ とどのように関係しているか。
• RQ4 ループ群 $\Omega G$ のレベル $k$ の Kac–Moody 中心拡大は、$\tilde{\rm P}_kG$ の対象の自己同型群にどのように符号化されているか。
• RQ5 構造 2群が $\tilde{\rm P}_kG$ である 2バンドル構造が、多様体上のストリング構造の幾何的モデルを提供できるか。また、特性類 $p_1/2$ とどのように関係しているか。

主な発見

• 任意の整数 $k$ に対して、無限次元 Fréchet リー 2群 $\tilde{\rm P}_kG$ が存在し、$\frak{g}_k$ を統合する。これにより $k\neq 0$ のときの統合障害が解消される。
• 幾何的実現 $|\tilde{\rm P}_kG|$ は、$G$ を基点とする $K(\mathbb{Z},2)$ による位相群の拡大であり、Dixmier–Douady クラスは $H^3(G, \mathbb{Z})$ 内の $k[\nu/2\pi]$ に一致する。
• $G={\rm Spin}(n)$ かつ $k=\pm1$ のとき、幾何的実現 $|\tilde{\rm P}_kG|$ はストリング群 ${\rm String}(n)$ にホモトピー同値であり、これによりその新しい幾何的モデルが得られる。
• $\tilde{\rm P}_kG$ のリー 2代数 $\tilde{\frak{P}}_k\frak{g}$ は $\frak{g}_k$ と同値であり、ジャコビェーターの同型は $k\nu$ で与えられる。ここで $\nu$ は $G$ 上の標準的左不変 3形式である。
• $\tilde{\rm P}_kG$ の任意の対象の自己同型群は、$\Omega G$ のレベル $k$ の Kac–Moody 中心拡大と同型であり、これは構成の主要な要素である。
• この構成により、構造 2群が $\tilde{\rm P}_kG$ である 2バンドルモデルが得られ、これは主 ${\rm String}(n)$-バンドルの代わりに使える可能性がある。$G$-バンドルをこのような 2バンドルに持ち上げるための障害は $H^4(M; \mathbb{Z})$ 内にあり、特性類 $p_1/2$ で与えられる。