[論文レビュー] From (Martingale) Schrodinger bridges to a new class of Stochastic Volatility Models

Pierre Henry‐Labordère|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、マーチング・シュレーディンガー・ブリッジ手法を用いて、ボラティリティ過程のドリフトを修正することにより、市場のバニラオプション、VIXオプション、および実現変動率デリバティブを正確に一致させる、新しいタイプの確率的ボラティリティモデル（SVM）を提案する。ローカル・ストキャスティックボラティリティモデルとは異なり、キャリブレーション後にインstantaneousボラティリティ・オブ・ボラティリティは変化せず、効率的な数値キャリブレーションのための動的Sinkhornアルゴリズムが用いられ、Dyson非衝突ブラウン運動との深い関連性が明らかになる。

ABSTRACT

Following closely the construction of the Schrodinger bridge, we build a new class of Stochastic Volatility Models exactly calibrated to market instruments such as for example Vanillas, options on realized variance or VIX options. These models differ strongly from the well-known local stochastic volatility models, in particular the instantaneous volatility-of-volatility of the associated naked SVMs is not modified, once calibrated to market instruments. They can be interpreted as a martingale version of the Schrodinger bridge. The numerical calibration is performed using a dynamic-like version of the Sinkhorn algorithm. We finally highlight a striking relation with Dyson non-colliding Brownian motions.

研究の動機と目的

• バニラオプション、VIXオプション、および実現変動率オプションの市場価格を正確に一致させる、新しいタイプの確率的ボラティリティモデルの開発。
• ローカル・ストキャスティックボラティリティモデルが引き起こす歪みを避けるために、元のモデルのインスタントラス・ボラティリティ・オブ・ボラティリティ構造を保持すること。
• キャリブレーション後のモデルがリスク中立測度の下で真のマルティンググであることを保証し、アービタージュを回避すること。
• 動的Sinkhornアルゴリズムの変種を用いた、数値的に効率的なキャリブレーション手法の提供。
• 得られたモデルのダイナミクスとDyson非衝突ブラウン運動との理論的関連性の確立。

提案手法

• 株価がマルティンググであるという制約の下で相対エントロピーを最小化する、シュレーディンガー・ブリッジ問題のマルティンググ版を用いてモデルを構築する。
• キャリブレーションは、ボラティリティ過程のドリフト項に時間および状態に依存する項を導入する確率的制御問題を解くことで達成され、元のボラティリティ・オブ・ボラティリティ構造が保持される。
• 相関およびボラティリティ関数を含む非線形項を有するBurgers型PDEの解を用いた双対表現を用いてダイナミクスを導出する。
• 測度変更のRadon-Nikodym導関数は、双対制御問題の解を含む指数マルティンググとして表現される。
• 数値的キャリブレーションには、ターゲット周辺分布に一致させるためにドリフトを繰り返し調整する動的Sinkhornアルゴリズムが用いられる。
• 実現変動率の制約をVIXに類似させるために、追加の制御項を導入し、VIXオプションと整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インスタントラス・ボラティリティ・オブ・ボラティリティを変更せずに、バニラオプション、VIXオプション、および実現変動率オプションを正確にキャリブレートできる確率的ボラティリティモデルは構築可能か？
• RQ2 シュレーディンガー・ブリッジフレームワークは、確率的ボラティリティモデルの文脈でマルティンググ制約をどのように適応できるか？
• RQ3 ボラティリティ過程に状態に依存するドリフト項を追加することで、モデルのダイナミクスおよびキャリブレーション特性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 得られたモデルのダイナミクスは、Dyson非衝突ブラウン運動のような既知の確率過程と関連づけられるか？
• RQ5 特に高次元またはパス依存型デリバティブに対して、キャリブレーションを実用的に効率的に行う方法は何か？

主な発見

• 提案されたモデルは、ボラティリティ過程のドリフト項のみを修正することで、市場のバニラオプション、VIXオプション、および実現変動率オプションを正確に一致させており、元のボラティリティ・オブ・ボラティリティ構造は変更されていない。
• キャリブレーション後のモデルは、リスク中立測度の下で真のマルティンググのままであり、アービタージュがない。これは、過去のシュレーディンガー・ブリッジ手法がマルティンググ性を保証できなかったのとは対照的である。
• 動的Sinkhornアルゴリズムを用いた数値的キャリブレーションにより、複雑なデリバティブの価格設定に実用的に適用可能である。
• 双対制御問題の解は、最適ドリフトおよびRadon-Nikodym導関数を支配するBurgers型PDEの解を導く。
• 得られたモデルのダイナミクスとDyson非衝突ブラウン運動との間には、顕著な関連性が確立され、より深い数学的構造が示唆される。
• 本手法は、単一で統一された確率的ボラティリティモデル内で、複数の市場制約（周辺分布および実現変動率）を一貫して統合するフレームワークを提供する。