[論文レビュー] From moment explosions to the asymptotic behavior of the cumulative distribution

Sidi Mohamed Ould Aly|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2013

Advanced Statistical Process Monitoring被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、確率変数のモーメント生成関数（MGF）とその補完的累積分布関数（CCDF）の漸近的尾部挙動との間のタウバー型関係を確立する。MGFが有限の臨界点で発散する場合、本稿ではその特異点近傍におけるMGFの振る舞いから、CCDFの正確な漸近的減衰率を導出する。この結果を、CIR過程とその時間積分の重ね合わせに適用する。

ABSTRACT

We study the Tauberlan relations between the moment generating function of a random variable and the complementary cumulative distribution function of this variable. We show that if the moment generating function is finite only on part of the real line, then the behavior of the MGF near the critical moment gives the asymptotic behavior of the complementary cumulative distribution function of this variable. We apply our results to an arbitrary superposition of a CIR process and the time-integral of this process.

研究の動機と目的

• モーメント生成関数（MGF）の発散と確率変数の分布の尾部挙動との関係を理解すること。
• MGFの臨界モーメントと補完的累積分布関数（CCDF）の漸近的減衰との間を結ぶ厳密なタウバー定理を確立すること。
• CIR過程とその時間積分の重ね合わせで得られる確率変数の尾部挙動を分析すること。
• MGFの収束境界付近における解析的構造から、漸近的尾部確率を導出する手法を提供すること。

提案手法

• MGFの収束半径に近い漸近的挙動と分布の尾部減衰との関係を、タウバー定理を用いて関係づける。
• MGFが有限でなくなる臨界モーメントを特定し、これが尾部挙動の鍵となることを同定する。
• 導出された関係を、CIR過程とその時間積分の和として定義される特定の過程クラスに適用する。
• ラプラス変換と漸近的解析を用いて、MGFの特異性の種類から、CCDFのべき乗則的または指数的減衰率を抽出する。
• 重ね合わせ過程のMGFを分析し、収束半径および特異性構造を同定する。
• 既知のラプラス変換に関するタウバー結果を用いて、MGFが臨界モーメント付近で示す振る舞いに基づき、CCDFの正確な漸近的形を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の臨界点でMGFが発散する場合、その発散が分布の尾部減衰率にどのように影響するか？
• RQ2 MGFが有限のモーメントで特異性を持つ場合、補完的累積分布関数の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 タウバー理論は、拡散過程におけるMGF特異性と分布の尾部特性をどのように結びつけるか？
• RQ4 MGFの収束性が与えられたとき、CIR過程とその時間積分の重ね合わせの尾部挙動はいかなるものか？
• RQ5 MGFの臨界モーメント付近における局所的振る舞いから、漸近的尾部減衰を明示的に計算できるか？

主な発見

• 補完的累積分布関数（CCDF）の漸近的尾部減衰は、MGFの収束半径における特異性の性質によって完全に決定される。
• MGFが有限の臨界モーメントで発散する場合、CCDFはMGFの特異性の種類（べき乗則的または指数的減衰など）に一致する速度で減衰する。
• CIR過程とその時間積分の重ね合わせに対しては、MGFが有限の収束半径を持ち、尾部挙動はその境界付近におけるMGFの解析的構造から導出される。
• 本手法により、経路に沿ったシミュレーションや数値的逆変換を要せず、CCDFの正確な漸近的表現を導出可能である。
• MGFの定義域が有限である確率過程における極端事象の確率を予測する、厳密な解析的フレームワークを提供する。
• 分布が明示的に与えられていなくても、臨界点付近におけるMGFの振る舞いに依存するだけで、尾部漸近的挙動を導出可能である。