[論文レビュー] From optimal stopping boundaries to Rost's reversed barriers and the Skorokhod embedding

Tiziano De Angelis|arXiv (Cornell University)|May 11, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 35被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動の最適停止問題とロストのスコロフホッド埋め込み問題の解法を結ぶ新しい確率的証明を提示する。有限水平の最適停止問題の時刻反転された最適停止境界を分析することで、著者らはこれらの境界がロストの反転バリアを形成することを示し、偏微分方程式や可視性理論を用いずに確率的解析によって直接的な関係を確立する。さらに、原点を持つ測度に対しても結果を拡張する。

ABSTRACT

We provide a new probabilistic proof of the connection between Rost's solution of the Skorokhod embedding problem and a suitable family of optimal stopping problems for Brownian motion with finite time-horizon. In particular we use stochastic calculus to show that the time reversal of the optimal stopping sets for such problems forms the so-called Rost's reversed barrier.

研究の動機と目的

• 有限水平の最適停止問題とロストのスコロフホッド埋め込み問題の解法との間の直接的な確率的関係を確立すること。
• 偏微分方程式や可視性理論を避けて、確率的解析のみを用いたこの関係の新しい証明を提供すること。
• McConnell（2013）のような先行研究では除外されていた、原点を持つ測度μを含むように以前の結果を拡張すること。
• 最適停止問題における価値関数およびその時間微分の正則性を特定すること。
• 最適停止集合の時刻反転が、目標測度μを埋め込むロストの反転バリアを形成することを示すこと。

提案手法

• ブラウン運動Bに対して報酬関数G(x) = 2∫₀ˣ(Fₙᵤ(z) − Fₘᵤ(z))dzを有する有限水平最適停止問題を定式化する。
• 継続集合𝒞_Tと停止集合𝒟_T（その補集合）を定義し、境界を右連続単調関数として特徴付ける。
• T > 0に対して{𝒟_T}の族を[0, ∞)に拡張し、時刻反転停止集合𝒟⁻_∞を構成する。
• 時刻反転集合𝒟⁻_∞がロストの反転バリアを形成することを証明する。すなわち、(t, Wₜ)の𝒟⁻_∞への最初の hitting 時刻σ*はW_σ* ~ μを満たす。
• 停留時間公式および局所時刻の性質を用いて価値関数Vおよびその時間微分V_tを分析し、V_tが[0,T) × ℝ上で連続であることを示す。
• 滑らか化された測度μ_kによる近似問題の収束を確立し、元の問題を回復する。また、継続集合が極限集合に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偏微分方程式や可視性理論を用いずに、確率的解析のみを用いて最適停止問題とロストの反転バリアとの関係をどのように証明できるか。
• RQ2 時刻反転は、最適停止境界をロストの反転バリアに変換する際に果たす役割は何か。
• RQ3 元の研究で取り扱われた連続測度に限らず、原点を持つ測度μに対しても結果を拡張できるか。
• RQ4 価値関数V_tと、継続集合から脱出するまで殺されるブラウン運動の遷移密度との関係は何か。
• RQ5 累積分布関数に不連続性がある場合、価値関数Vおよびその導関数、特にV_tの正則性はどのように特定できるか。

主な発見

• 有限水平最適停止問題の最適停止集合の時刻反転は、目標測度μを埋め込むロストの反転バリアを形成する。
• 価値関数V_tは[0,T) × ℝ上で連続である。この結果は完全に確率的手法によって証明されており、文献において新規である。
• 時間微分V_tは、継続集合から脱出するまで殺されるブラウン運動の遷移密度を用いた確率的表現を有する。
• 原点を持つ測度μ_kを用いた近似測度に対して、対応する継続集合𝒞_kは単調減少列をなし、元の継続集合𝒞_Tに収束する。
• 元の問題の最適停止時刻τ*は、近似問題の最適停止時刻τ*ₖのほとんど確実な極限に一致し、埋め込みの収束が保証される。
• この構成は、原点を持つ測度μに対しても拡張可能であり、McConnellの結果（連続測度を仮定）を一般化する。