[論文レビュー] From PDE Systems and Metrics to Generalized Field Theories

Constantin Udrişte, Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2001

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$J^1(T,M)$ 上に構築されたリーマン計量を用いて、ジャエットバンドル上の1階偏微分方程式系を調和写像問題に変換する一般化された場の理論フレームワークを導入する。Sasakianに類似した計量 $S = h + \varphi + h^{-1} \ast \varphi$ をジャエット空間に導入することで、PDE系の $C^2$ 解はすべて調和写像となり、最小二乗ラグランジアンを最小化する。これにより、ラグランジュ幾何学を用いてポincareのアイデアに由来する一般化された逆問題が解かれる。

ABSTRACT

The paper proved that every $C^2$-solution of a given first order PDEs system, regarded on the jet fibre bundle of order one $J^1(T,M)$, may be viewed as a "generalized harmonic map", via the least squares variational method. Our ideas are structured in the following way: 1) we find a suitable geometrical structure on $J^1(T,M)$ that convert the solutions of the given PDEs system into "generalized harmonic maps"; 2) we build a natural geometry induced by a such PDEs system; 3) we construct a field theory, in a general setting, naturally attached to this PDEs system.

研究の動機と目的

• Poincaréが提起したが、適切な幾何的構造の欠如により長年未解決のままであった一般化された逆問題を解くこと。
• 与えられたPDE系の解を調和写像に変換できる、第一階ジャエットバンドル $J^1(T,M)$ 上の幾何的枠組みを確立すること。
• ベース多様体 $T$ および $M$ 上のリーマン計量を用いて、第一階PDE系に自然に付随する一般化された場の理論を構築すること。
• 最小二乗ラグランジアンによる変分的定式化を提供し、$C^2$ 解が作用を最小化することで、Yang-Mills型のダイナミクスを拡張すること。

提案手法

• ジャエットバンドル $J^1(T,M)$ に、$T$ 上のリーマン計量 $h$ および $M$ 上の $\varphi$ から導かれるSasakianに類似した計量 $S = h + \varphi + h^{-1} \ast \varphi$ を導入する。
• 水平共変微分と $J^1(T,M)$ 上の多時刻スプライト $(H,G)$ を用いて、一般化されたローレンツ＝ウドリシュテ世界力則を定式化する。$H^{(i)}_{(\alpha)\beta}$ および $G^{(i)}_{(\alpha)\beta}$ の成分にはクリストッフェル記号と外部テンソル $F^i$ が含まれる。
• PDE系 $(1.1)$、$x^i_\alpha = X^{(i)}_{(\alpha)}(t^\gamma, x^k)$ は、$C^1$-独立なテンソル場 $X^{(i)}_{(\alpha)}$ を介して制約され、可積分性が保証される。
• $F$ という物理的場の $G$-ポテンシャル $\nabla$ は、$J^1(T,M)$ 上のPDE系 $(CPS')$ の解としてモデル化され、$\partial \nabla^a_{b\beta}/\partial t^\alpha = \mathcal{F}^a_{b(\alpha)(\beta)}(t^\gamma, \nabla_\mu)$ という形の成分を有する。これは曲率および制約から導かれる。
• 最小二乗ラグランジアン $L = h^{\alpha\beta}h^{\mu\nu} \left( \partial \nabla^b_{a\alpha}/\partial t^\mu - \mathcal{F}^b_{a(\alpha)(\mu)} \right) \left( \partial \nabla^a_{b\beta}/\partial t^\nu - \mathcal{F}^a_{b(\beta)(\nu)} \right)$ を定義し、その最小化が調和写像を生じることを示す。
• 計量 $h$ と $o(q)$ 上のカルタン形式を用いて、$\Lambda^1 T^* \otimes \text{End}(E)$ 上にリーマン構造を構成し、ジャエット空間上にファイバーごとのリーマン幾何学を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャエットバンドル上の1階PDE系を、その $C^2$ 解が調和写像となるように幾何的に構造化する方法は何か？
• RQ2 Sasakianに類似した計量 $S = h + \varphi + h^{-1} \ast \varphi$ は、PDE解を変分問題の極値に変換する際に果たす役割は何か？
• RQ3 第一階PDE系を、リーマン計量と最小二乗ラグランジアンを伴うジャエットバンドルに埋め込むことで、一般化された場の理論を構築できるか？
• RQ4 $J^1(T,M)$ 上の最小二乗ラグランジアンは、Yang-Millsラグランジアンをどのように一般化し、調和接続の概念をどのように拡張するか？
• RQ5 $G$-ポテンシャルが制約付きPDE系 $(CPS')$ を満たし、最小二乗作用を最小化する場合の物理的および幾何的意味は何か？

主な発見

• PDE系 $x^i_\alpha = X^{(i)}_{(\alpha)}(t^\gamma, x^k)$ のすべての $C^2$ 解は、$J^1(T,M)$ 上の計量 $S = h + \varphi + h^{-1} \ast \varphi$ に関して調和写像であり、最小二乗変分問題を最小化する。
• 一般化されたローレンツ＝ウドリシュテ世界力則は、$J^1(T,M)$ 上の多時刻スプライト $(H,G)$ として定式化され、明示的な成分 $H^{(i)}_{(\alpha)\beta} = -\frac{1}{2} H^\gamma_{\alpha\beta} x^i_\gamma$ および $G^{(i)}_{(\alpha)\beta} = \frac{1}{2} \gamma^i_{jk} x^j_\alpha x^k_\beta + h_{\alpha\beta} F^i$ を有する。ここで $F^i$ は $X^{(i)}_{(\alpha)}$ の共変微分を含む。
• $F$ の $G$-ポテンシャル $\nabla$ は、制約 $\partial \nabla_\alpha / \partial t^\beta = f_{\alpha\beta}(t^\gamma, \nabla_\mu)$ が満たされるとき、$J^1(T,M)$ 上で調和写像であることが示され、これにより等価なPDE系 $(CPS')$ が得られる。
• $J^1(T,M)$ 上に定義された最小二乗ラグランジアン $L$ は、Yang-Millsラグランジアンよりも一般性が高く、そのオイラー＝ラグランジュ方程式は「Yang-Mills方程式のジャエット拡張」と呼ばれる。
• $(CPS')$ の解は「ジャエット調和Yang-Mills接続」と呼ばれ、作用 $\mathcal{L} = L \sqrt{h}$ を最小化するため、変分的特徴付けが与えられる。
• 本構成により、多時刻幾何的ダイナミクスを用いた第一階PDE系の幾何的分類が可能となり、コンピュータシミュレーションおよびさらなる解析に適している。