[論文レビュー] From Petrov-Einstein to Navier-Stokes

Vyacheslav Lysov, Strominger, Andrew|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用数 38

ひとこと要約

本稿では、時空的超曲面 $Σ_c$ に平坦な誘導計量をもつPetrov型I条件を課すことにより、$p+2$次元のアインシュタイン重力と $p+1$次元の非圧縮性流体力学との間に双対性を確立する。具体的には、その条件によりアインシュタイン制約方程式が非線形非圧縮性ナビエ-ストークス方程式に還元されることを示す。主な結果は、大きな平均曲率極限において、$Σ_c$ の外在幾何がナビエ-ストークス力学に従って正確に進化することであり、重力と流れの間のホログラフィック等価性を明らかにする。

ABSTRACT

We consider a p+1-dimensional timelike hypersurface Σ_c embedded with a flat induced metric in a p+2-dimensional Einstein geometry. It is shown that imposing a Petrov type I condition on the geometry reduces the degrees of freedom in the extrinsic curvature of Σ_c to those of a fluid in Σ_c. Moreover, expanding around a limit in which the mean curvature of the embedding diverges, the leading-order Einstein constraint equations on Σ_c are shown to reduce to the non-linear incompressible Navier-Stokes equation for a fluid moving in Σ_c.

研究の動機と目的

• 幾何的制約を用いて、$p+2$次元のアインシュタイン重力と $p+1$次元の流体力学との間の直接的対応を確立すること。
• 平坦な誘導計量をもつ時空的超曲面 $Σ_c$ におけるPetrov型I条件が、外在曲率の自由度を流体に相当するものに削減することを示すこと。
• 大きな平均曲率極限において、$Σ_c$ 上の一次のアインシュタイン制約方程式が、速度場と圧力場に関して正確に非圧縮性ナビエ-ストークス方程式に還元されることを示すこと。
• 近ホライズン重力研究で従来用いられてきた正則性および流入なし条件と、Petrov型I条件との等価性を明確にすること。
• ホライズン正則性に基づく境界条件の代わりに、リーマンテンソルの代数的制約を用いる数学的により単純な代替境界条件を提供すること。

提案手法

• 平坦な誘導計量をもつ $p+1$次元の時空的超曲面 $\Sigma_c$ を $p+2$次元のアインシュタイン時空に埋め込む。
• 超曲面 $\Sigma_c$ 上の時間移動に一致するnullベクトルに関して、WeylテンソルにPetrov型I条件を課し、Weylテンソルの特定成分を消去する。
• Petrov条件から導かれる制約方程式を用い、外在曲率 $K_{ab}$ の $\frac{(p+1)(p+2)}{2}$ 個の成分をエネルギー密度、速度 $v^i$、圧力 $P$ の $p+2$ 個の変数に削減する。これらは流体変数として解釈される。
• 時間スケーリング $\tau = \lambda x^0$（$\lambda \to 0$）を導入し、近ホライズン極限にアクセスする。
• アインシュタイン制約方程式を $\lambda$ のべき級数に展開し、一次の項が非圧縮性ナビエ-ストークス系に一致することを特定する。
• $\mathrm{t}^{\tau(1)}_i = v_i/2$ および $\rho^{(2)} = P$ を特定し、幾何的変数を流体速度および圧力場にマッピングする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦な計量をもつ時空的超曲面におけるPetrov型I条件が、バルクアインシュタイン理論において非圧縮性ナビエ-ストークス方程式を再現できるか？
• RQ2 Petrov型I条件が、近ホライズン重力研究で従来用いられてきた正則性および流入なし条件と数学的に同等か？
• RQ3 超曲面 $\Sigma_c$ 上のアインシュタイン制約方程式の大きな平均曲率極限が、$\Sigma_c$ 上の流体に従う非線形非圧縮性ナビエ-ストークス方程式を生じるか？
• RQ4 Petrov型Iのような幾何的代数的条件を用いて、外在曲率 $K_{ab}$ の自由度を流体に相当するものに削減できるか？
• RQ5 幾何的変数（例：$\mathrm{t}^{\tau(1)}_i$, $\rho^{(2)}$）とナビエ-ストークス系における流体変数 $v^i$, $P$ の間の正確なマッピングは何か？

主な発見

• Petrov型I条件により、外在曲率 $K_{ab}$ の $\frac{(p+1)(p+2)}{2}$ 個の成分が、エネルギー密度、速度 $v^i$、圧力 $P$ の $p+2$ 個の自由に制約のない変数に削減され、これらは流体自由度として解釈される。
• 大きな平均曲率極限（$\lambda \to 0$）において、$Σ_c$ 上の一次のアインシュタイン制約方程式は正確に非圧縮性ナビエ-ストークス方程式に還元される：$\partial_k v^k = 0$ および $\partial_\tau v_i + v^k \partial_k v_i - \partial^2 v_i + \partial_i P = 0$。ここで $\tau$ は時間、$i=1,\dots,p$ は空間添え字である。
• $\mathrm{t}^{\tau(1)}_i = v_i/2$ および $\rho^{(2)} = P$ の特定により、制約方程式内の幾何的変数が流体速度および圧力場にマッピングされる。
• 一次のハミルトニアン制約により $\mathrm{t}^{\tau(1)}_{\tau} = -2 \mathrm{t}^{\tau(1)}_i \mathrm{t}^{i(1)}_{\tau}$ が固定され、これは流体エネルギー運動量テンソルの構造と整合的である。
• 一次の運動量制約により、$\partial_i v^i = 0$（非圧縮性）およびナビエ-ストークス進化方程式が得られ、重力から流体力学が自然に導かれることが確認される。
• 固定平均曲率 $K$ をもつ代替境界条件を用いる場合、一次の極限で同じ普遍的なナビエ-ストークス方程式が得られ、結果の堅牢性が確認される。