[論文レビュー] From Ponzi Schemes to Benign Investment Dynamics: modelling Collapse, Stability, and a Path to Sustainability

Bernhard R. Parodi|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2026

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ひとこと要約

論文は、閉形式解を持つ離散時間の3つの投資モデル（幾何学的、準ロジスティック、SIRベース）を提示し、Ponzi的崩壊と有害で有限期間の投資ダイナミクスを共通の資本予算同一性の下で統合します。

ABSTRACT

The population and capital dynamics of three stylized investment systems are mathematically described using discrete-time difference equations with closed-form solutions. The models share a common capital budget equation but differ in their demographic laws, which are geometric, quasi-logistic, or epidemiologic (SIR-based). The quasi-logistic model is designed as an analytically tractable non-Ponzi investment system: it generalizes the geometric model (and, in the limit of a constant growth rate, reproduces classical Ponzi dynamics) while closely mirroring the behaviour of an SIR-based model with decreasing effective growth. In all cases, promised returns are modeled as fixed per-period payouts on initial investment with principal repaid upon exit, so that aggregate liabilities depend only on the current number of active investors. Within this unified framework, classical Ponzi schemes arise as special cases that inevitably collapse, while suitable parameter choices in the quasi-logistic and SIR-based versions generate finite-horizon, legally benign "no-Ponzi game" investment schemes with analytically transparent conditions for collapse, stability, and sustained operation.

研究の動機と目的

• 崩壊と持続可能性の両方を示す投資スキームの統一的な数学的フレームワークを動機づける。
• 三つの人口動態モデル（幾何成長、準ロジスティック成長、SIRベース成長）を資本ダイナミクスの閉形式解とともに開発する。
• 崩壊と妥当性（有効性）を決定するパラメータ領域を特定し、長期運用が有益である条件を概説する。
• ロックアップ期間と有限な投資家プールが長期的結果に与える影響について解析的洞察を提供する。

提案手法

• 固定された各期間の支払いと元本償還をもつ共通の資本予算同一性を定義する。
• 幾何成長、準ロジスティック成長、SIRベース成長の三つの人口動態法則に対する閉形式の資本ダイナミクスを導出する。
• 有限の地平を持つ非Ponzi型の新規準の準ロジスティック人口動態を導入する。
• 離散時間モデルの厳密/明示的解を提示し、SIR系との差異を比較する。
• 初期資本、ロックアップ時間、人口動態率などのパラメータが安定性と崩壊に与える影響を分析する。

Figure 1: Growth rates $n_{t}$ for the quasi-logistic growth model and for a couple of SIR-models. (For better visualization, only the interpolation lines connecting the discrete data points will be shown in this figure and in all other figures.) Top panel: Sigmoidally decreasing growth rates $n_{t}

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ponzi型のスキームはどのパラメータ条件で崩壊するのか、それとも存続する／有害性を抑えたものになるのか？
• RQ2 幾何成長、準ロジスティック、SIRベースといった異なる投資-人口動態法が資本ダイナミクスと持続可能性にどのような影響を与えるのか？
• RQ3 準ロジスティックまたはSIRベースの枠組みで、統一モデル内に有限の地平を持つ合法的に有益な投資スキームを生み出せるのか？
• RQ4 ロックアップ期間と有限な投資家プールは崩壊と妥当性の転換にどのような役割を果たすのか？

主な発見

• 閉形式解を持つ三つの離散時間モデルが、異なる人口動態の下で資本ダイナミクスを記述する。
• 不利なパラメータの下ではPonzi型崩壊が内生的に生じる一方、準ロジスティックとSIRベースのモデルは有限地平の有害でないスキームを生み出すことができる。
• 準ロジスティックモデルは幾何成長を特別な場合として埋め込み、SIR様の投資家基盤のシグモイド形の減衰成長を模倣する。
• 統一的フレームワークは古典的なPonziスキーム、脆弱なシステム、そして有益なプール型収入商品を共通の予算同一性で結びつける。
• 重大なパラメータ領域は崩壊と安定性を区別し、持続可能な投資ダイナミクスへの道を示す。
• 論文は制御された条件下で実現可能な新規の一時的手段を提案する。

Figure 2: Demographic development for the quasi-logistic model. Developments are shown under different lock-up period conditions: without exits from the system (lock-up period $T=200$ , representing $T\rightarrow\infty$ , dashed lines) and with exits after $T$ = 30 periods of participation (solid li