[論文レビュー] From quadratic Hawkes processes to super-Heston rough volatility models with Zumbach effect

Aditi Dandapani, Paul Jusselin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2019

Point processes and geometric inequalities被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、価格ダイナミクスに2次ハーケス過程を導入することで、強力なズンバッハ効果を示すスーパー・ヘストン粗いボラティリティモデルの微視的基礎を提案する。適切なスケーリングのもとで、極限におけるボラティリティ過程は、平方根項に非自明な乗数を加えることで強化されたボラティリティテイルを示し、過去のリターンから将来のボラティリティへのフィードバックを明示的に保持する。

ABSTRACT

Using microscopic price models based on Hawkes processes, it has been shown that under some no-arbitrage condition, the high degree of endogeneity of markets together with the phenomenon of metaorders splitting generate rough Heston-type volatility at the macroscopic scale. One additional important feature of financial dynamics, at the heart of several influential works in econophysics, is the so-called feedback or Zumbach effect. This essentially means that past trends in returns convey significant information on future volatility. A natural way to reproduce this property in microstructure modeling is to use quadratic versions of Hawkes processes. We show that after suitable rescaling, the long term limits of these processes are refined versions of rough Heston models where the volatility coefficient is enhanced compared to the square root characterizing Heston-type dynamics. Furthermore the Zumbach effect remains explicit in these limiting rough volatility models.

研究の動機と目的

• インstantaneous varianceのボラティリティが標準的な平方根形式を上回る形で強化されるスーパー・ヘストン粗いボラティリティモデルの微視的妥当性を提供すること。
• 過去の価格トレンドが将来のボラティリティに直接影響を与える強力なズンバッハ効果を、厳密な微視的価格モデルに組み込むこと。
• 既存のハーケスに基づく微視的モデルを拡張し、強度プロセスに2次フィードバック機構を導入することで、リターン駆動のボラティリティクラスタリングを捉えること。
• このようなモデルの長期極限が、明示的な過去リターンからのフィードバックを有する洗練された粗いヘストン型ダイナミクスを生じることを示すこと。
• リスケールされたプロセスの収束を確立し、数学的に取り扱いやすい形で粗いパスの挙動とズンバッハ効果を両方保持する極限粗いボラティリティモデルを得ること。

提案手法

• 価格ダイナミクスを、ジャンプサイズ±1の区分定数過程としてモデル化し、2次ハーケス型強度を持つ計数過程Nによって駆動する。
• 強度を λₜ = μ + ∫₀ᵗ φ(t−s)dNₛ + Zₜ² と定義する。ここで Zₜ = ∫₀ᵗ k(t−s)dPₛ は過去リターンの移動平均として作用し、ズンバッハフィードバックを符号化する。
• 微視的モデルに対して時間的・空間的スケーリング（T → ∞）を適用し、正規化されたプロセス P*ᵀ、M*ᵀ、Λ*ᵀ を導入して極限を分析する。
• 部分積分と収束結果（例：[27] の補題4.3）を用いて、カーネル Fᵀ と Z*ᵀ プロセスを含むリスケールされた積分の一様収束を示す。
• バーグシュタイン＝デイヴィス＝ガンディーの不等式とマルティンゲール収束技術を活用し、確率積分項がフラクタル型拡散に収束することを証明する。
• [36] の定理 V-3.9 を適用して、極限マルティンゲール M を独立なブラウン運動に関する確率積分として表現し、正しいボラティリティダイナミクスを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次ハーケス過程に基づく微視的モデルは、強化されたボラティリティテイル（スーパー・ヘストン）を有する粗いボラティリティモデルを生成しつつ、強力なズンバッハ効果を保持できるか？
• RQ2 ハーケス強度に2次フィードバック項（Zₜ²）を組み込むことで、価格プロセスのスケーリング極限にどのような影響を与えるか？
• RQ3 極限におけるボラティリティプロセスは、過去のボラティリティを超えて過去リターンへの依存性を組み込んだまま、粗いヘストン構造（特異カーネルを有する）を保持するか？
• RQ4 リスケールされた強度プロセスの漸近的挙動は何か？ また、それが明示的なズンバッハフィードバックを有する極限粗いボラティリティモデルにどのように収束するか？
• RQ5 相関を有するブラウン運動に依存せずに、強力なズンバッハ効果を微視的モデルから厳密に導出できるか？

主な発見

• 極限ボラティリティプロセス Vₜ は、修正されたボラティリティ係数を有する粗いヘストン型SDEを満たす：Vₜ = V₀ + ∫₀ᵗ (t−s)^(α−1) [θ₀(s) − Vₛ] ds + ∫₀ᵗ ν√Vₛ dWₛ であり、ボラティリティ係数 ν が非自明なプロセス (1 + Zₛ²) によって強化されている。
• ズンバッハ効果は極限でも保持される：将来のボラティリティの条件付き分布は、プロセス Zₜ² = ∫₀ᵗ k(t−s)dPₛ を通じて過去リターンに明示的に依存する。
• リスケールされたマルティンゲール項は確率的に一様に収束し、ブラウン運動を含むフラクタル型積分に収束する。これにより、ハースト指数 α − 1/2 を有する粗いパス挙動が保証される。
• 極限プロセス Xₜ はほとんど確実に微分可能であり、その導関数 Vₜ はカーネル f^(α,λ) とフィードバック項 (1 + Zₛ²) を有するボルテラ型積分として与えられる。これによりスーパー・ヘストン構造が確認される。
• リスケールされた強度プロセスの収束は、確定的および確率的積分の一様収束により確立され、カーネルの L¹ 収束とマルティンゲールのタイトネスに依存する。
• 最終的な極限モデルは、粗さとスーパー・ヘストン両方の性質を持つボラティリティプロセスを有し、ズンバッハフィードバックが状態依存係数 (1 + Zₛ²) に符号化されている。これにより、肥大なボラティリティダイナミクスの微視的基礎が提供される。