[論文レビュー] From Quantum AN (Sutherland) to E8 Trigonometric Model: Space-of-Orbits View ?

Alexander V. Turbiner|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、不変式空間（軌道空間）を用いて、アフィン・ワイル不変な三角関数的および有理的量子モデルを統一的な枠組みで定式化し、隠れた代数的構造を明らかにする。古典的（A–D）モデルに対しては普遍包あらわし代数 Ugln を、例外的（E–F）モデルに対しては新しい無限次元で有限生成の微分作用素代数を同定する。BC1モデルがTTWモデルの起源であることが特定され、sl(2) ⊕ sl(2) の隠れた対称性を持つ新しい準正確可解系が得られる。

ABSTRACT

Abstract. A number of affine-Weyl-invariant integrable and exactly-solvable quantum models with trigonometric potentials is considered in the space of invariants (the space of orbits). These models are completely-integrable and admit extra particular integrals. All of them are characterized by (i) a number of polynomial eigenfunctions and quadratic in quantum numbers eigenvalues for exactly-solvable cases, (ii) a factorization property for eigenfunctions, (iii) a rational form of the potential and the polynomial entries of the met-ric in the Laplace–Beltrami operator in terms of affine-Weyl (exponential) invariants (the same holds for rational models when polynomial invariants are used instead of exponential ones), they admit (iv) an algebraic form of the gauge-rotated Hamiltonian in the expo-nential invariants (in the space of orbits) and (v) a hidden algebraic structure. A hidden algebraic structure for (A−B−C−D)-models, both rational and trigonometric, is related to the universal enveloping algebra Ugln. For the exceptional (G−F−E)-models, new, infinite-dimensional, finitely-generated algebras of differential operators occur. Special attention is given to the one-dimensional model with BC1 ≡ (Z2)⊕T symmetry. In particular, the BC1 origin of the so-called TTW model is revealed. This has led to a new quasi-exactly solvable model on the plane with the hidden algebra sl(2) ⊕ sl(2). Key words: (quasi)-exact-solvability; space of orbits; trigonometric models; algebraic forms; Coxeter (Weyl) invariants; hidden algebra 2010 Mathematics Subject Classification: 35P99; 47A15; 47A67; 47A75 1

研究の動機と目的

• アフィン・ワイル不変な三角関数的ポテンシャルを持つ可積分・正確可解量子モデルの記述を、不変式空間を用いて統一的に展開すること。
• 特に例外的リー群（E, F）に対して、これらのモデルの背後にある隠れた代数的構造を特定・特徴づけること。
• TTWモデルの代数的起源を明らかにし、1次元BC1モデルがその基盤であることを示すこと。
• 固有関数が量子数の積に因数分解され、固有値が量子数の二次関数として表されることを示し、有理的ポテンシャルおよび指数関数的不変量における多項式的計量成分を持つこと。
• 有理的および三角関数的モデルの両方について、不変式空間におけるゲージ回転ハミルトニアンの代数的表現を確立すること。

提案手法

• 解析はアフィン・ワイル不変量の空間で行われ、元の配置空間がワイル群作用による商空間に変換される。
• 正確可解ケースに対して、多項式的固有関数および量子数の二次関数的固有値が導出され、代数的可解性が示される。
• ラプラス＝ベルトラミ作用素が指数関数的不変量の言語で表現され、有理的ポテンシャルおよび多項式的計量成分が得られる。
• ゲージ回転ハミルトニアンが不変式空間において代数的に再定式化され、隠れた対称性の同定が可能になる。
• 古典的（A–D）モデルに対しては、隠れた代数が普遍包あらわし代数 Ugln であると特定される。例外的（E–F）モデルに対しては、新しい無限次元で有限生成の微分作用素代数が出現する。
• BC1モデルを詳細に分析し、TTWモデルの基礎的系としての役割を明らかにし、sl(2) ⊕ sl(2) 対称性を持つ新しい準正確可解モデルを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン・ワイル不変な三角関数的量子モデルを、不変式空間において体系的に記述する方法は何か？
• RQ2 これらのモデルの正確可解ケースに隠れた代数的構造は何か、特に例外的リー群に対しては？
• RQ3 TTWモデルはBC1モデルとどのように関係しており、この関係からどのような代数的構造が生じるか？
• RQ4 不変式空間における指数関数的不変量を用いて、ゲージ回転ハミルトニアンを完全に代数的形で表現できるか？
• RQ5 例外的（E–F）モデルに現れる新しい微分作用素代数の性質は何か？

主な発見

• 不変式空間は、三角関数的および有理的モデルが両方とも指数関数的不変量の有理的ポテンシャルおよび多項式的計量成分を持つ統一的枠組みを提供する。
• 本フレームワーク内でのすべての正確可解モデルは、量子数の多項式的固有関数および量子数の二次関数的固有値を示す。
• ゲージ回転ハミルトニアンは不変式空間において代数的形をとるようになり、より深い構造的解析が可能になる。
• （A–D）モデルに対しては、隠れた代数が普遍包あらわし代数 Ugln であると判明し、既知の代数的構造が裏付けられる。
• （E–F）モデルに対しては、新しい無限次元で有限生成の微分作用素代数が発見され、新規の隠れた対称性を示唆する。
• BC1モデルがTTWモデルの起源であることが示され、sl(2) ⊕ sl(2) の隠れた代数を持つ新しい準正確可解系が得られる。