[論文レビュー] From quantum Bayesian inference to quantum tomography

R. Derka, Vladimír Bužek+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 1997

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、一般化されたマイクロカノニカル集合を用いて無限回の測定下での純粋状態における密度演算子を導出することにより、量子ベイズ的推論と量子トモグラフィーの厳密な関係を確立する。さらに、混合状態への拡張は「純粋化（purification）」の仮定を用い、再構築された密度演算子がフォン・ノイマンエントロピーを最大化することを示し、Jaynesの最大エントロピー原理と同等であることを示す。これにより、スピン1/2系におけるベイズ的推論、最大エントロピー、離散的量子トモグラフィーが統合される。

ABSTRACT

We derive an expression for a density operator estimated via Bayesian quantum inference in the limit of an infinite number of measurements. This expression is derived under the assumption that the reconstructed system is in a pure state. In this case the estimation corresponds to an averaging over a generalized microcanonical ensemble of pure states satisfying a set of constraints imposed by the measured mean values of the observables under consideration. We show that via the ``purification'' ansatz, statistical mixtures can also be consistently reconstructed via the quantum Bayesian inference scheme. In this case the estimation corresponds to averaging over the generalized canonical ensemble of states satisfying the given constraints, and the reconstructed density operator maximizes the von Neumann entropy (i.e., this density operator is equal to the generalized canonical density operator which follows from the Jaynes principle of maximum entropy). We study in detail the reconstruction of the spin-1/2 density operator and discuss the logical connection between the three reconstruction schemes, i.e., (1) quantum Bayesian inference, (2) reconstruction via the Jaynes principle of maximum entropy, and (3) discrete quantum tomography.

研究の動機と目的

• 純粋状態再構築の仮定の下、無限回の測定の極限において密度演算子を導出すること。
• 純粋化（purification）の仮定を用いてベイズ的推論フレームワークを統計的混合状態へ拡張し、一貫した混合状態の再構築を可能とすること。
• 再構築された密度演算子が与えられた制約の下でフォン・ノイマンエントロピーを最大化することを示すこと。これによりJaynesの最大エントロピー原理と一致することを示すこと。
• 量子ベイズ的推論、最大エントロピー、離散的量子トモグラフィーの3つの再構築手法の論理的関係を確立すること。
• スピン1/2の密度演算子を、3つのアプローチ（ベイズ的推論、最大エントロピー、離散的トモグラフィー）を用いて詳細に再構築し、それらの一貫性を比較すること。

提案手法

• 無限回の測定の極限におけるベイズ的推論により密度演算子を導出する。この際、系は純粋状態にあると仮定する。
• 測定された観測量の平均値に基づく制約を課し、純粋状態上の一般化されたマイクロカノニカル集合を導く。
• 混合状態を拡張されたヒルベルト空間内の純粋状態に写像する「純粋化（purification）」の仮定を導入し、一貫したベイズ的取り扱いを可能にする。
• 得られた密度演算子が同じ制約を満たす一般化されたカノニカル集合に対応することを示す。
• 再構築された密度演算子がフォン・ノイマンエントロピーを最大化することを示し、Jaynesの原理と一致することを確認する。
• スピン1/2の密度演算子を、3つの手法（ベイズ的推論、最大エントロピー、離散的トモグラフィー）を用いて明示的に再構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限回の測定の極限において、スピン1/2系の純粋状態に対して量子ベイズ的推論はどのように一意な密度演算子に収束するか？
• RQ2 純粋化手順を用いることで、混合状態はベイズ的推論によって一貫して再構築可能か？
• RQ3 ベイズ的推論によって得られた密度演算子は、Jaynesの原理から導かれる最大エントロピー状態とどの程度一致するか？
• RQ4 量子ベイズ的推論、最大エントロピー、離散的量子トモグラフィーの間には、数学的・物理的な何らかの関係があるか？
• RQ5 3つの再構築手法は、スピン1/2の密度演算子に関して、予測をどの程度一致させるか？

主な発見

• 無限回の測定の極限において、純粋状態に対するベイズ的推論による密度演算子は、測定された制約を満たす一般化されたマイクロカノニカル集合の純粋状態の平均化に対応する。
• 純粋化の仮定により、混合状態の再構築がベイズ的推論によって一貫して可能となり、一般化されたカノニカル集合に対応する密度演算子が得られる。
• 再構築された密度演算子は、与えられた制約の下でフォン・ノイマンエントロピーを最大化し、Jaynesの最大エントロピー原理と同等であることが確認された。
• スピン1/2系において、3つの手法（ベイズ的推論、最大エントロピー、離散的トモグラフィー）は一貫した結果をもたらし、提示された仮定の下で論理的に同等であることが示された。
• 本稿は、量子ベイズ的推論と標準的量子トモグラフィーの間の正式な橋渡しを確立し、測定された平均値によって制約が与えられた場合、両者が同じ密度演算子に収束することを示した。
• 密度演算子の導出式は、無限回測定の極限において正確であり、量子状態再構築の統一的フレームワークを提供する。