[論文レビュー] From quantum curves to topological string partition functions II

Ioana Coman, Pietro Longhi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 111被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、量子曲線および等モノドロミー tau 関数を用いて、局所的 Calabi-Yau 多様体上のトポロジカル弦の分配関数の幾何的特徴付けを提案する。局所的 Calabi-Yau の古典的幾何を量子化することで、量子曲線のモジュライ空間上の Fock-Goncharov または Fenchel-Nielsen 形式の座標に関連する一般化された theta 級数の展開として分配関数が得られる。主な結果は、モジュライ空間上に自然に定義される正則ラインバンドルであり、その断面が分配関数を符号化しており、正確な WKB 法によって定義される Stokes 線を越えて正規化のジャンプが生じる。

ABSTRACT

We propose a geometric characterisation of the topological string partition functions associated to the local Calabi-Yau (CY) manifolds used in the geometric engineering of $d=4$, $\mathcal{N}=2$ supersymmetric field theories of class $\mathcal{S}$. A quantisation of these CY manifolds defines differential operators called quantum curves. The partition functions are extracted from the isomonodromic tau-functions associated to the quantum curves by expansions of generalised theta series type. It turns out that the partition functions are in one-to-one correspondence with preferred coordinates on the moduli spaces of quantum curves defined using the Exact WKB method. The coordinates defined in this way jump across certain loci in the moduli space. The changes of normalisation of the tau-functions associated to these jumps define a natural line bundle playing a key role in the geometric characterisation of the topological string partition functions proposed here.

研究の動機と目的

• 局所的 Calabi-Yau 多様体上のトポロジカル弦の分配関数を、非摂動的かつ幾何的に定義すること。この多様体は、クラス S 理論で用いられる。
• トポロジカル弦の分配関数と量子曲線のモジュライ空間上の座標との間の対応を確立すること。
• 等モノドロミー tau 関数および一般化された theta 級数展開を用いて、分配関数を特徴付けること。
• 分配関数の正規化および変換性を支配する自然な正則ラインバンドルを、量子曲線のモジュライ空間上に同定すること。

提案手法

• 局所的 Calabi-Yau 幾何から定義される古典的代数的曲線を量子化し、微分作用素としての量子曲線を導出する。
• 量子曲線を正則接続およびモノドロミー情報のための Riemann-Hilbert 問題として表現する。
• 等モノドロミー変形問題の tau 関数としてフェルミオンの自由な分配関数を構成する。
• これらの tau 関数を、モジュライ空間上の Fock-Goncharov または Fenchel-Nielsen 形式の座標における一般化された theta 級数として展開する。
• 正確な WKB 法を用いて、モジュライ空間上の優先的座標を定義し、その座標は Stokes 現象および正規化のジャンプを示す。
• パンツ分解や座標系の変更における tau 関数の変換法則を導出し、正規化シフトを符号化する正則ラインバンドルを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、量子曲線を用いて、局所的 Calabi-Yau 多様体上のトポロジカル弦の分配関数を幾何的に特徴付けることができるか？
• RQ2 等モノドロミー tau 関数は、分配関数をどのように符号化するのか？また、theta 級数展開とはどのように関係するか？
• RQ3 量子曲線のモジュライ空間上の Fock-Goncharov および Fenchel-Nielsen 形式の座標は、分配関数とどのように関係するか？
• RQ4 モジュライ空間における Stokes 線を越えて生じる tau 関数の正規化ジャンプの幾何的意味は何か？
• RQ5 正確な WKB 法は、分配関数の展開を整理するための自然な座標系をどのように提供するか？

主な発見

• トポロジカル弦の分配関数が、正確な WKB 法によって定義される、量子曲線のモジュライ空間上の優先的座標と一対一に対応することが示された。
• 分配関数は、等モノドロミー tau 関数の一般化された theta 級数展開の係数として現れ、その座標は Fock-Goncharov または Fenchel-Nielsen 形式の変数である。
• モジュライ空間における Stokes 線を越えて生じる tau 関数の正規化ジャンプは、Voros 記号によって支配され、モジュライ空間上に正則ラインバンドルを定義する。
• 異なる座標系（例：Fock-Goncharov から Fenchel-Nielsen へ）間の変換法則は、Riemann-Hilbert 問題から導かれる差分生成関数に符号化されている。
• 特定のケース、例えば $C_{0,4}$ および $C_{0,2}$ の分配関数が、強い結合定数展開および theta 級数を用いて明示的に計算され、既知の結果と整合することが確認された。
• 正規化シフトから構成された正則ラインバンドルは、ハイパーマトリックスのモジュライ空間の幾何およびタイプ II 弦理論における NS5 ブラナの補正と関連すると予想されている。