[論文レビュー] From Quantum Optics to Non-Commutative Geometry : A Non-Commutative Version of the Hopf Bundle, Veronese Mapping and Spin Representation

Kazuyuki Fujii|ArXiv.org|Feb 26, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ジェインズ＝カミングス模型と量子対角化法を用いて、非可換なホップ bundle の構築を行い、ディラックストリング（古典的特異性）が、基底状態の配置でのみ出現することを示している。一方、励起状態では出現しない。さらに、非可換版のベロネーゼ写像と SU(2) のスピン表現を発展させ、古典的な幾何学的・代数的構造が非可換変形において普遍的に保存されないことが明らかになった。

ABSTRACT

In this paper we construct a non-commutative version of the Hopf bundle by making use of Jaynes-Commings model and so-called Quantum Diagonalization Method. The bundle has a kind of Dirac strings. However, they appear in only states containing the ground one (${\cal F} imes \{\ket{0}\} \cup \{\ket{0}\} imes {\cal F} \subset {\cal F} imes {\cal F}$) and don't appear in remaining excited states. This means that classical singularities are not universal in the process of non-commutativization. Based on this construction we moreover give a non-commutative version of both the Veronese mapping which is the mapping from $\fukuso P^{1}$ to $\fukuso P^{n}$ with mapping degree $n$ and the spin representation of the group SU(2). We also present some challenging problems concerning how classical (beautiful) properties can be extended to the non-commutative case.

研究の動機と目的

• 古典的なファイバー束、特にホップ bundle を、量子光学的モデルを用いた非可換幾何の枠組みへ一般化すること。
• ディラックストリングのような古典的特異性が、非可換変形のもとでも普遍的に存続するかを調査し、その普遍性に疑問を呈すること。
• 古典的構成物、たとえばベロネーゼ写像や SU(2) のスピン表現を非可換設定へ拡張すること。
• 量子群における非可換チャーン類やテンソル分解の定義の可能性と課題を探索すること。
• 特にジェインズ＝カミングス模型を用いたキャビティ QED モデルを通じて、非可換幾何学の量子場理論的基盤を提供すること。

提案手法

• x および y 座標を量子化するが z を古典的とする非可換なベリーハミルトニアンの変形として、ジェインズ＝カミングス模型を用いる。
• 非可換ハミルトニアンの対角化に量子対角化法（QDM）を適用し、非可換ホップ bundle 構造の構成を可能にする。
• 非可換複素座標を、演算子 Z = (1/R(N)+θ)a† を用いたステレオグラフィック射影により定義する。ここで R(N) = √(N + θ²) であり、これは古典的な CP¹ 座標を一般化する。
• 演算子値座標を用いた古典的 n 次写像の上げ上げにより、非可換 CP¹ から CPⁿ への非可換ベロネーゼ写像を構成する。
• 標準的なクリービッヒ＝ゴルダン分解を非可換演算子へ上げ上げることで、SU(2) のスピン表現の一般化を試みるが、非可換性のため障害に直面する。
• ユニタリ変換 T をクリービッヒ＝ゴルダン行列に類似させ、テンソル積のブロック対角化を試みるが、非可換性のため T†(V⊗V)T ≠ diag(1, Φ₁(V)) であることが判明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ホップ bundle は、量子光学的モデルを用いて非可換ファイバー束へ一貫して変形可能か？
• RQ2 ディラックストリングのような古典的特異性は、非可換幾何的構成において普遍的に存続するのか、それとも状態依存的か？
• RQ3 CP¹ から CPⁿ への古典的ベロネーゼ写像は、どのように非可換設定に一般化可能か？また、写像の次数はどのような役割を果たすか？
• RQ4 SU(2) のスピン表現の非可換版を構築することは可能か？また、高スピンの場合の障害は何か？
• RQ5 このような構成を通じて非可換チャーン類を定義可能か？非可換特徴類への影響は何か？

主な発見

• ディラックストリングは、真空状態を含む状態（F×{|0⟩} ∪ {|0⟩}×F）でのみ出現し、励起状態では出現しない。これは、古典的特異性が非可換変形において普遍的ではないことを示唆している。
• 非可換ホップ bundle は、ジェインズ＝カミングス模型に量子対角化法を適用することで構築され、非可換基底空間上のファイバー束構造が得られた。
• 非可換ベロネーゼ写像は、演算子値座標を用いた古典的 n 次写像の上げ上げにより定義され、写像次数は将来の非可換チャーン類と関連する可能性がある。
• 非可換スピン表現は j=1 および j=3/2 の場合にのみ正しく構築可能であり、一般のスピンへの一般化は非可換性に起因する障害によって妨げられている。
• テンソル積の分解は、非可換ユニタリ変換のもとでブロック対角形式を保たない。T†(V⊗V)T ≠ diag(1, Φ₁(V)) であることは、非可換表現理論における根本的な障害を示している。
• 古典的極限において、非可換座標 Z は標準的な CP¹ 座標 Z_c = (x+iy)/(r+z) に還元され、古典理論と整合性があることが確認された。