[論文レビュー] From repeated to continuous quantum interactions

Stéphane Attal, Yan Pautrat|ArXiv.org|Nov 4, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、小規模な系とアーギラリ系の鎖への繰り返し量子相互作用の連続時間極限として、量子ランジュバン方程式を厳密にハミルトニアン的に導出する。相互作用ハミルトニアンに3つの異なる時間スケール（1、√h、h）を導入することで、極限における運動が量子確率的微分方程式に従うことが示され、量子光学や継続的測定における標準的な量子ランジュバン方程式が、恣意的な仮定なしに正当化される。

ABSTRACT

We consider the general physical situation of a quantum system $\H_0$ interacting with a chain of exterior systems $\bigotimes_\N \H$, one after the other, during a small interval of time $h$ and following some Hamiltonian $H$ on $\H_0 \otimes \H$. We discuss the passage to the limit to continuous interactions ($h o 0$) in a setup which allows to compute the limit of this Hamiltonian evolution in a single state space: a continuous field of exterior systems $\otimes_{\R} \H$. Surprisingly, the passage to the limit shows the necessity for 3 different time scales in $H$. The limit evolution equation is shown to spontaneously produce quantum noises terms: we obtain a quantum Langevin equation as limit of the Hamiltonian evolution. For the very first time, these quantum Langevin equations are obtained as the effective limit from repeated to continuous interactions and not only as a model. These results justify the usual quantum Langevin equations considered in continual quantum measurement or in quantum optics. We show that the three time scales correspond to the normal regime, the weak coupling limit and the low density limit. Our approach allows to consider these two physical limits altogether for the first time. Their combination produces an effective Hamiltonian on the small system, which had never been described before. We apply these results to give an Hamiltonian description of the von Neumann measurement. We also consider the approximation of continuous time quantum master equations by discrete time ones. In particular we show how any Lindblad generator is obtained as the limit of completely positive maps.

研究の動機と目的

• 繰り返し量子相互作用の連続極限として、量子ランジュバン方程式を厳密に導出すること。
• 相互作用ハミルトニアンにおける3つの異なる時間スケールの特定により、弱い結合と低密度の極限を統一的な枠組みで統合すること。
• 量子ランジュバン方程式にハミルトニアン的基礎を与えること。すなわち、現象論的モデルとして扱うのでなく、基本的力学に立脚すること。
• 完全正値写像の離散的ユニタリ発展の極限として、リンドブラッド生成子がどのように出現するかを示し、開放系量子系と基本的力学の間の接続を確立すること。
• 本フレームワークをフォン・ノイマン測定モデルに適用し、量子測定プロセスのハミルトニアン的記述を提供すること。

提案手法

• 時間間隔hごとに、小規模な系とアーギラリ系の鎖との間の相互作用を、各ペアで固定されたハミルトニアンHを用いてモデル化する。
• 離散的鎖をℝ⁺上での連続的フォック場に埋め込み、単一のヒルベルト空間内でh → 0の極限を取ることを可能にする。
• ハミルトニアンに3つの異なる時間スケール（1、√h、h）を導入し、非自明な極限が得られることを保証する。
• 拡張系上のユニタリ発展を用いて離散的ダイナミクスを定義し、ヘイゼンベルク表示における発展が量子確率的微分方程式の解に収束することを証明する。
• 量子確率的微分積分法（ハドソン＝パルタサラシー）を用いて、極限ダイナミクスを量子ランジュバン方程式として記述する。
• 離散的発展写像がリンドブラッド生成子に収束するための条件を確立し、任意のリンドブラッド生成子がこのような極限として得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子ランジュバン方程式は、繰り返し相互作用の基本的ハミルトニアン力学からどのように導出可能か？
• RQ2 非自明な連続極限を得るためには、相互作用ハミルトニアンにどのような正規化条件が必要か？
• RQ3 弱い結合極限と低密度極限が、統一的な枠組みの中で同時にどのように出現するか？
• RQ4 標準的なリンドブラッドマスター方程式は、離散的ユニタリ完全正値写像の極限として得られるか？
• RQ5 本繰り返し相互作用フレームワークにおいて、フォン・ノイマン測定プロセスのハミルトニアン的記述は何か？

主な発見

• 連続極限への移行には、相互作用ハミルトニアンに3つの異なる時間スケール（1、√h、h）を含める必要がある。
• 極限におけるダイナミクスは、量子確率的微分方程式（量子ランジュバン方程式）によって記述され、恣意的な仮定なしにハミルトニアン力学から自然に導かれる。
• 得られた量子ランジュバン方程式は、量子光学や継続的測定で標準的に用いられるものと一致する。たとえば、自発的放出のWigner-Weisskopfモデルも含まれる。
• 相互作用行列が適切なスケーリング条件を満たす限り、任意のリンドブラッド生成子が、離散的完全正値写像の極限として出現する。
• 離散的発展が連続的発展に収束することは、強い作用素位相で成り立ち、ヘイゼンベルク表示における弱収束を意味する。
• 本フレームワークにより、フォン・ノイマン測定プロセスがハミルトニアン的に行われることを導出でき、連続的観測が繰り返し相互作用からどのように生じるかを明らかにする。