[論文レビュー] From Subfactors to Categories and Topology I. Frobenius algebras in and Morita equivalence of tensor categories

Michael Mueger|ArXiv.org|Nov 19, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 54被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Frobenius代数をテンソルカテゴリに導入することで、部分因子理論とテンソルカテゴリを圏論的枠組みで結びつける。また、任意のFrobenius代数が双圏の随伴関手から生じることを証明する。主な貢献は、弱いモノイダルモルティア同値性の定義であり、これは量子二重と状態和不変量の同値性を示し、部分因子理論とトポロジカル量子場理論を統合する。

ABSTRACT

We consider certain categorical structures that are implicit in subfactor theory. Making the connection between subfactor theory (at finite index) and category theory explicit sheds light on both subjects. Furthermore, it allows various generalizations of these structures, e.g. to arbitrary ground fields, and the proof of new results about topological invariants in three dimensions. The central notion is that of a Frobenius algebra in a tensor category A, which reduces to the classical notion if A=F-Vect, where F is a field. An object X in A with two-sided dual X^ gives rise to a Frobenius algebra in A, and under weak additional conditions we prove a converse: There exists a bicategory E with Obj(E)={X,Y} such that End_E(X,X) is equivalent to A and such that there are J: Y->X, J^: X->Y producing the given Frobenius algebra. Many properties (additivity, sphericity, semisimplicity,...) of A carry over to E. We define weak monoidal Morita equivalence (wMe) of tensor categories and establish a correspondence between Frobenius algebras in A and tensor categories B wMe A. While considerably weaker than equivalence of tensor categories, weak monoidal Morita equivalence of A and B implies (for A,B semisimple and spherical or *-categories) that A and B have the same dimension, braided equivalent `center' (quantum double) and define the same state sum invariants of closed oriented 3-manifolds as defined by Barrett and Westbury. If H is a finite dimensional semisimple and cosemisimple Hopf algebra then H-mod and H^-mod are wMe. The present formalism permits a fairly complete analysis of the quantum double of a semisimple spherical category, which is the subject of the companion paper math.CT/0111205.

研究の動機と目的

• 有限指数の部分因子理論の背後にある圏論的構造をテンソルカテゴリを用いて形式化すること。
• 任意のテンソルカテゴリにおけるFrobenius代数を定義・研究し、体上の古典的Frobenius代数を一般化すること。
• テンソルカテゴリ A におけるFrobenius代数と、弱いモノイダルモルティア同値なカテゴリ B ≈ A 間の対応を確立すること。
• 弱いモノイダルモルティア同値性が、3次元多様体における量子二重と状態和不変量の同値性を示すこと。
• 低次元トポロジーにおけるモジュラー不変量とトポロジカル不変量を理解するための圏論的基盤を提供すること。

提案手法

• Frobenius代数を、(m ⊗ id) ◦ (id ⊗ Δ) = Δ ◦ m = (id ⊗ m) ◦ (Δ ⊗ id) のような適合条件を満たすことで、テンソルカテゴリ A に導入する。
• 対象 A と B をもつ双圏 E を構成し、End_E(A) ≃ A かつ A と B 間の随伴が与えられたFrobenius代数を実現するようにする。
• 弱いモノイダルモルティア同値性 A ≈ B を、A 内のFrobenius代数 Q が存在し、B ≃ Q-mod-Q と同値であると定義する。
• 弱いモノイダルモルティア同値性が、量子二重（中心）を保存することを証明する。これは、braided tensor categories としての同値性である。
• 剛体カテゴリと双対の理論を用いて、剛体 A-代数が A 内のFrobenius代数と同値であることを示す。
• Ocneanuのパラ群とLongoのQシステムの結果を活用し、圏論的構成の動機を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソルカテゴリにおけるFrobenius代数は、随伴関手を持つ双圏の構造を再構成するためにどのように利用できるか？
• RQ2 弱いモノイダルモルティア同値性の圏論的特徴づけは何か？また、部分因子理論とどのように関係するか？
• RQ3 弱いモノイダルモルティア同値性が、量子二重と状態和不変量の同値性を示すための条件は何か？
• RQ4 半単純球面カテゴリの中心は、この形式的枠組みで完全に記述可能か？
• RQ5 双圏 E の構成は、Yamagami や Ostrik の既存の構成とどのように関係するか？

主な発見

• 任意のテンソルカテゴリ A 内のFrobenius代数は、対象 A と B をもつ双圏 E から生じる。ここで A と B は随伴関手で接続されている。
• 弱いモノイダルモルティア同値性 A ≈ B は、A 内のFrobenius代数 Q が存在し、B ≃ Q-mod-Q と同値であることに等しい。
• A と B が弱くモノイダルにモルティア同値ならば、それらの量子二重（中心）はbraided tensor categories として同値である。
• 半単純球面カテゴリに対しては、弱いモノイダルモルティア同値性が、閉じた向き付け可能な3次元多様体に対する同じ状態和不変量をもたらす。
• 既知の結果（例：H が有限次元で半単純かつ余半単純なHopf代数ならば H-mod ≈ Ĥ-mod）が、この形式的枠組みで回復される。
• この形式的枠組みは、補論文で発展された半単純球面カテゴリの中心を完全に記述する。