[論文レビュー] From Subfactors to Categories and Topology II. The quantum double of tensor categories and subfactors

Michael Mueger|ArXiv.org|Nov 19, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、代数的に閉じた体上の任意の半単純球面的テンソルカテゴリに、有限次元ホップ代数への量子二重構成を一般化する。中心 ${\cal Z}({\cal C})$ が次元 $(\dim{\cal C})^2$ のモジュラー圏であることを証明し、${\cal Z}({\cal C})$ と ${\cal C} \otimes {\cal C}^{\mathrm{op}}$ の弱モリタ同値関係を確立し、トーラスTQFTの状態空間次元と一致する ${\cal Z}({\cal C})$ の単純対象の数に関するゲルファンド＝カジダン予想を検証する。

ABSTRACT

We are concerned with the center (=quantum double) of tensor categories and prove generalizations of several results proven previously for quantum doubles of Hopf algebras. We consider F-linear tensor categories C with simple unit and finitely many isomorphism classes of simple objects. We assume that C is either a *-category (i.e. there is a positive *-operation on the morphisms) or semisimple and spherical over an algebraically closed field F. In the latter case we assume that dim C=sum_i d(X_i)^2 is non-zero, where the summation runs over the isomorphism classes of simple objects. We prove: (i) Z(C) is a semisimple spherical (or *-) category. (ii) Z(C) is weakly monoidally Morita equivalent (in the sense of math.CT/0111204) to C X C^op. This implies dim Z(C)=(dim C)^2. (iii) We analyze the simple objects of Z(C) in terms of certain finite dimensional algebras, of which Ocneanu's tube algebra is the smallest. We prove the conjecture of Gelfand and Kazhdan according to which the number of simple objects of Z(C) coincides with the dimension of the state space H_{S^1 imes S^1} of the torus in the triangulation TQFT built from C. (iv) We prove that Z(C) is modular and we compute the Gauss sums Delta_+/-(Z(C))=sum_i theta(X_i)^{+/- 1}d(X_i)^2=dim C. (v) Finally, if C is already modular then Z(C)\simeq C X C~, where C~ is the tensor category C with the braiding c~_{X,Y}=c_{Y,X}^{-1}.

研究の動機と目的

• ホップ代数から一般の半単純球面的テンソルカテゴリへの量子二重構成の拡張。
• このようなカテゴリの中心 ${\cal Z}({\cal C})$ がモジュラーであることを証明すること。
• ${\cal Z}({\cal C})$ と ${\cal C} \otimes {\cal C}^{\mathrm{op}}$ の弱モリタ同値関係を確立し、$\dim{\cal Z}({\cal C}) = (\dim{\cal C})^2$ を示すこと。
• ゲルファンド＝カジダン予想の検証：${\cal Z}({\cal C})$ の単純対象の数が、${\cal C}$ から構成されたTQFTにおけるトーラスの状態空間次元に一致すること。
• ${\cal Z}({\cal C})$ のガウス和 $\Delta_{\pm}({\cal Z}({\cal C}))$ を計算し、$\dim{\cal C}$ に等しいことを示すこと。

提案手法

• テンソルカテゴリ ${\cal C}$ の中心 ${\cal Z}({\cal C})$ を、ドリンフェルト中心の公理を満たす自然同型を持つ対象の braided 圏として定義する。
• ${\cal Z}({\cal C})$ の $S$-行列を表すために、$\bigoplus_{i,j} \mathrm{Hom}_{\cal C}(X_i X_j, X_j X_i)$ 上のベクトル空間同型 ${\mathfrak{S}}$ を用いる。
• 球面性と双対性を活用して、${\mathfrak{S}}$ が4次元同型であり、自己準同型代数の中心を安定化することを示す。
• 単純対象 $(X,e_X)$ に対して $d(X)^{-1} z_{(X,e_X)}$ を用いて、$S$-行列の固有ベクトルの基底を構成する。
• 双対性の式とトレースの性質を適用し、${\mathfrak{S}}$ を通じて $S$-行列の行列要素を計算する。
• ガウス和の公式 $\Delta_{\pm}({\cal Z}({\cal C})) = \sum_i \theta(X_i)^{\pm 1} d(X_i)^2$ を用い、それが $\dim{\cal C}$ に等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半単純球面的テンソルカテゴリ ${\cal C}$ の中心 ${\cal Z}({\cal C})$ はモジュラーか？
• RQ2 ${\cal Z}({\cal C})$ の次元は $\dim{\cal Z}({\cal C}) = (\dim{\cal C})^2$ を満たすか？
• RQ3 ${\cal Z}({\cal C})$ の単純対象の数は、${\cal C}$ から構成されたTQFTにおけるトーラスの状態空間次元に等しいか？
• RQ4 ガウス和 $\Delta_{\pm}({\cal Z}({\cal C}))$ は $\dim{\cal C}$ に等しいか？
• RQ5 ${\cal Z}({\cal C})$ は ${\cal C} \otimes {\cal C}^{\mathrm{op}}$ と弱モリタ同値か？

主な発見

• ${\cal C}$ が代数的に閉じた体上の有限次元かつ非退化な次元を持つ半単純球面的テンソルカテゴリであるとき、中心 ${\cal Z}({\cal C})$ はモジュラー圏である。
• ${\cal Z}({\cal C})$ の次元は、${\cal C} \otimes {\cal C}^{\mathrm{op}}$ への弱モリタ同値関係によって示されるように、正確に $(\dim{\cal C})^2$ である。
• ${\cal Z}({\cal C})$ のガウス和は $\Delta_{+}({\cal Z}({\cal C})) = \Delta_{-}({\cal Z}({\cal C})) = \dim{\cal C}$ を満たす。
• ${\cal Z}({\cal C})$ の単純対象の数は、${\cal C}$ から構成された三角形分割TQFTにおけるトーラスの状態空間次元に等しく、ゲルファンド＝カジダン予想が正当化される。
• ${\cal C}$ が既にモジュラーである場合、${\cal Z}({\cal C}) \simeq_{\mathrm{br}} {\cal C} \otimes \tilde{{\cal C}} \simeq_{\mathrm{br}} {\cal C} \otimes {\cal C}^{\mathrm{op}}$ が成り立ち、ここで $\tilde{{\cal C}}$ は反転されたbraidingをもつ ${\cal C}$ である。