[論文レビュー] From the Black-Karasinski to the Verhulst model to accommodate the unconventional Fed's policy

Andrey Itkin, Alexander Lipton+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2020

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非常措置的金融政策下での長期にわたる低金利環境をよりよく捉えるために、対数正規分布の金利ダイナミクスをロジスティック（ヴェルフュルスト）過程に置き換えた、修正されたブラック＝カラジンスキー（MBK）モデルを提案する。このモデルは弱い仮定のもとでゼロクーポンボンド（ZCB）価格の閉形式解を導出し、特に短期満期において、有限差分法やモンテカルロ法と比較して優れた計算効率と精度を示す。

ABSTRACT

In this paper, we argue that some of the most popular short-term interest models have to be revisited and modified to reflect current market conditions better. In particular, we propose a modification of the popular Black-Karasinski model, which is widely used by practitioners for modeling interest rates, credit, and commodities. Our adjustment gives rise to the stochastic Verhulst model, which is well-known in the population dynamics and epidemiology as a logistic model. We demonstrate that the Verhulst model's dynamics are well suited to the current economic environment and the Fed's actions. Besides, we derive new integral equations for the zero-coupon bond prices for both the BK and Verhulst models. For the BK model for small maturities up to 2 years, we solve the corresponding integral equation by using the reduced differential transform method. For the Verhulst integral equation, under some mild assumptions, we find the closed-form solution. Numerical examples show that computationally our approach is significantly more efficient than the standard finite difference method.

研究の動機と目的

• 非常措置的金融政策下における長期にわたる低金利またはマイナス金利状態を的確に捉えることが難しい、古典的短金利モデル（ブラック＝カラジンスキー）の限界を是正すること。
• 現在の市場状況を反映するように、下側に厚い尾部を持つ分布を示す、より取り扱いやすく構造的に適切なモデルを構築すること。
• 修正モデルにおけるゼロクーポンボンド（ZCB）価格の積分方程式を導出し、特定の仮定のもとで閉形式解を提供すること。
• 有限差分法やモンテカルロ法と比較して、ZCB価格評価における解析的アプローチの計算的優位性を示すこと。

提案手法

• ブラック＝カラジンスキー・モデルにおける平均回帰ダイナミクスを、時間に依存する平均回帰水準と状態変数の指数関数との差に比例するドリフト項を持つロジスティック（ヴェルフュルスト）過程に置き換える。
• 短金利を $ r_t = s(t) + R e^{z_t} $ の形で変換することで、非負性を保証するとともに、決定的シフトを可能にする。
• 状態変数の特性関数に基づいてZCB価格の積分方程式を導出し、一般ケースにおける数値積分を可能にする。
• 短期満期（2年以内）に対しては、縮小された微分変換法を用いて積分方程式を効率的に解く。
• 時間に依存するボラティリティ $ \sigma(t) = \sqrt{\sigma_a + \sigma_b / (t + \sigma_c)} $ （ただし $ \sigma_b < 0 $）と定数 $ \kappa(t) $ の仮定のもとで、ZCB価格の閉形式解を導出する。
• 解析的解には、ウィッターキング関数および複素数値のガンマ関数を用い、評価にはシンプソン則による数値積分を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラック＝カラジンスキー・モデルは、現在の経済環境（長期間にわたる低金利またはマイナス金利）をよりよく反映するために、どのように修正可能か？
• RQ2 下側に厚い尾部を持つ確率過程を、取り扱いやすい金利モデルに組み込むことは可能か？
• RQ3 提案されたヴェルフュルストに基づくモデルは、妥当な仮定のもとでゼロクーポンボンド価格の閉形式解を導くことができるか？
• RQ4 ZCB価格評価において、解析的アプローチの計算性能は、有限差分法やモンテカルロ法と比べてどうか？

主な発見

• 修正されたヴェルフュルスト（MBK）モデルは、ロジスティック的平均回帰項を導入することで、対数正規分布のブラック＝カラジンスキー・モデルよりも左側の尾部が厚くなるように設計され、長期にわたる低金利状態を的確に捉えることができる。
• 短期満期（2年以内）において、縮小された微分変換法を用いてZCB価格の積分方程式を55 msで解くことができ、有限差分法（130 ms）よりも高速かつ高精度である。
• 時間に依存するボラティリティと定数の平均回帰仮定のもとで、ZCB価格の閉形式解が導出可能であり、これによりより高速かつ高精度な価格評価が可能になる。
• 解析的公式の数値積分により、2年以内の満期では、有限差分法（FD）基準で相対誤差0.3 bps未満、モンテカルロ法（MC）基準でも0.3 bps未満の誤差が得られる。50年満期では、FD基準で8.78 bps、MC基準で36.94 bpsまで誤差が増加するが、短期満期では高い精度を維持する。
• 解析的アプローチは、高次の求積法を用いることで、特に長期満期においても高い精度と計算効率を維持でき、有限差分法に比べてスケーラビリティに優れる。