[論文レビュー] From the Equations of Motion to the Canonical Commutation Relations

Elisa Ercolessi, G. Marmo+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 199被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、変分法における古典的逆問題と量子非可換関係を結びつける統一的な幾何的枠組みを確立し、Weyl-Wigner位相空間形式を通じて、代替的な力学的構造が同一の運動方程式をもたらすが、異なる非可換関係をもたらすことを示している。主な貢献は、量子非可換関係が運動方程式によって一意に決定されないことを示したことであり、Wignerの1950年の問題を有限次元および無限次元におけるシンプレクティック構造および双ハミルトニアン構造を用いて一般化したものである。

ABSTRACT

The problem of whether or not the equations of motion of a quantum system determine the commutation relations was posed by E.P.Wigner in 1950. A similar problem (known as "The Inverse Problem in the Calculus of Variations") was posed in a classical setting as back as in 1887 by H.Helmoltz and has received great attention also in recent times. The aim of this paper is to discuss how these two apparently unrelated problems can actually be discussed in a somewhat unified framework. After reviewing briefly the Inverse Problem and the existence of alternative structures for classical systems, we discuss the geometric structures that are intrinsically present in Quantum Mechanics, starting from finite-level systems and then moving to a more general setting by using the Weyl-Wigner approach, showing how this approach can accomodate in an almost natural way the existence of alternative structures in Quantum Mechanics as well.

研究の動機と目的

• E.P. Wignerが1950年に提起した、運動方程式が量子非可換関係を一意に決定するかという問いに応えること。
• 幾何学的およびシンプレクティック的手法を用いて、変分法における古典的逆問題と量子力学的代替構造を統一すること。
• Weyl-Wignerアプローチを無限次元系に拡張し、代替的量子記述と整合することを示すこと。
• 修正された線形構造およびシンプレクティック構造を用いて、古典的および量子的設定における不等価なハミルトニアンおよびラグランジュアン記述の存在を示すこと。
• 線形構造および再帰作用素が、代替的量子力学的ダイナミクスとその古典的極限を定義する役割を探索すること。

提案手法

• 量子演算子を位相空間上のc数関数に写像するWeyl-Wigner位相空間形式を用い、古典力学との比較を可能にする。
• Moyal積およびMoyal括弧を用いて位相空間における量子力学的ダイナミクスを定義し、ポアソン括弧構造を一般化する。
• 共形ポアソンテンソルおよび変形されたMoyal積を導入し、同一の運動方程式と整合する代替的量子力学的ダイナミクスをモデル化する。
• GNS構成および${ m C}^*$-代数的幾何学を用いて、位相空間データからヒルベルト空間構造を回復する。
• シンプレクティックフーリエ変換および$Sp(2,bR)$における不変性を用いて、位相空間内の異なる線形構造間での一貫性を保証する。
• 再帰作用素およびNijenhuisテンソルを分析し、可積分系および代替的ハミルトニアン記述の分類を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学における同一の運動方程式が、異なる正準非可換関係に対応しうるか？
• RQ2 古典的系において、代替的ラグランジュアンおよびハミルトニアン記述はどのように生じるのか。その量子的類似物は何か？
• RQ3 量子非可換関係が運動方程式によってどの程度決定されるのか。線形構造は果たす役割は何か？
• RQ4 Weyl-Wigner形式は、同一の運動方程式を持つ不等価な量子力学的ダイナミクスをどのように扱えるか？
• RQ5 シンプレクティック群および再帰作用素が、代替的力学的構造を生成するにあたり果たす幾何的役割は何か？

主な発見

• 運動方程式が量子力学において正準非可換関係を一意に決定しないことが確認され、同一のダイナミクスと整合する複数の量子理論が存在しうることが示された。
• 位相空間上の異なる線形構造が、不等価なMoyal括弧および変形された非可換関係をもたらす代替的量子記述を生じる。
• シンプレクティックフーリエ変換は$Sp(2,bR)$に関して不変であり、異なる位相空間パrametrization間での一貫性を保証する。
• 双ハミルトニアン構造および再帰作用素は、同一の運動方程式を持つ代替的古典的および量子的ダイナミクスを体系的に生成する手段を提供する。
• Weyl-Wignerアプローチは、代替的量子構造を自然に扱えるため、標準的量子化手順を一般化する。
• 共形ポアソンテンソルおよび変形されたMoyal積により、KMS条件を満たし、極限で古典的ダイナミクスに還元される代替的量子理論の位相空間形式が可能になる。