[論文レビュー] From the Geometry of Pure Spinors with their Division Algebras to Fermion's Physics

Paolo Budinich|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2001

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 9被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、純粋スピン形式と単位的代数（複素数、クaternion、オクトン）からフェルミオン理論を幾何学的に構成する手法を提案し、素粒子の運動方程式（ニュートリノから標準模型まで）が、2成分スピン形式から32成分スピン形式への段階的次元倍増によって自然に導かれる仕組みを示している。最終的に10次元のクリフォード代数 ${\mathbb{C}\ell}(1,9)$ に到達し、内部対称性（U(1), SU(2), SU(3)）およびフェルミオンの世代が、余剰な時空次元を必要とせずに4次元ミンコフスキー時空に限定された代数的構造から生じることを示している。

ABSTRACT

The Cartan's equations definig simple spinors (renamed pure by C. Chevalley) are interpreted as equations of motion in momentum spaces, in a constructive approach in which at each step the dimesions of spinor space are doubled while those momentum space increased by two. The construction is possible only in the frame of geometry of simple or pure spinors, which imposes contraint equations on spinors with more than four components, and the momentum spaces result compact, isomorphic toinvariant-mass-spheres imbedded in each other, since the signatures appear to be unambiguously defined and result steadily lorentzian; up to dimension ten with Clifford algebra Cl(1,9), where the construction naturally ends. The equations of motion met in the construction are most of those traditionally postulated ad hoc for multicomponent fermions. The 3 division algebras: complex numbers, quaternions and octonions appear to be strictly correlated with this spinor geometry, from which they appear to gradually emerge in the construction, where they play a basic role for the physical interpretation. In fact they seem then to be at the origin of electroweak and strong charges, of the 3 families and of the groups of the standard model. In this approach there seems to be no need of higher dimensional (>4) space-time, here generated merely by Poincare translations, and dimensional reduction from Cl(1,9) to Cl(1,3) is equivalent to decoupling of the equations of motion.

研究の動機と目的

• 純粋スピン形式の幾何的制約から、フェルミオン（ニュートリノ、電子、クォークなど）の運動方程式を、恣意的な仮定を避けながら導出すること。
• 単位的代数の代数的構造を通じて、標準模型における内部対称性（U(1), SU(2), SU(3)）およびフェルミオンの世代の起源を説明すること。
• 10次元クリフォード代数 ${\mathbb{C}\ell}(1,9)$ が、スピン形式幾何学を通じて既知のフェルミオン全般およびそれらの相互作用を自然に符号化していることを示すこと。
• 10次元から4次元への次元削減が、余剰次元のコンパクト化ではなく、運動方程式の運動量空間における分離（デカップリング）であることを示すこと。
• カルタンの純粋スピン形式方程式に基づき、エネルギースケールと粒子内容が増加する各段階に対応する、構成的で段階的な幾何学的枠組みを確立すること。

提案手法

• ${\mathbb{C}\ell}(2)$ における2成分のワイルスピン形式（パウリ代数に対応）から出発し、各段階でスピン形式空間の次元を2倍にし、同時に運動量空間も2次元ずつ拡大する。
• 純粋スピン形式のカルタン方程式を用いて、運動量空間における零ベクトル（null vectors）を定義し、それらが幾何学的にエネルギースケールに比例する半径の不変質量球面を表すことを示す。
• 高ランクスピン形式に制約を課すために、純粋スピン形式幾何学の整合性を保つ2つの主要な命題を適用する。
• 第3段階で複素数を導入し、U(1)対称性を生成。第4段階でクォータニオンを導入し、SU(2)対称性（アイソスピンおよび電弱 $SU(2)_L$）を生成。第5段階でオクトンを導入し、SU(3)フレーバーおよび色対称性を生成。
• 射影子 $u_{\pm} = \frac{1}{2}(1 \pm G_9)$ および $v^{(n)}_{\pm} = \frac{1}{2} G_{4+n}(1 \pm G_9)$ を用いて複素オクトンを定義し、これによりオクトン代数が閉じ、$SU(3)$ 不変性が実現される。
• ${\mathbb{C}\ell}(1,9)$ の生成子を物理的運動量および内部対称性生成子に関連付け、$G_{\mu}$ と $G_9$ がそれぞれ4次元および10次元の運動量空間を定義する役割を果たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、恣意的な仮定を避け、単一の幾何的原理から、基本フェルミオン（ワイル、マヨラナ、ディラック、電弱、核子-パイオン）の運動方程式を導出できるか？
• RQ2 単位的代数（複素数、クォータニオン、オクトン）が、標準模型の内部対称性を生成する役割を果たすのはなぜか？
• RQ3 なぜこの構成は32成分スピン形式の10次元で自然に終了するのか？また、この文脈においてクリフォード代数 ${\mathbb{C}\ell}(1,9)$ の意義は何か？
• RQ4 幾何学的アプローチは、なぜ3つのフェルミオン世代の出現と電荷・強い力の起源を説明できるのか？
• RQ5 標準模型のゲージ群および粒子内容は、余剰な時空次元を仮定せずに、純粋スピン形式幾何学から導出可能か？

主な発見

• 純粋スピン形式幾何学の自然な帰結として、ワイル、マヨラナ、ディラック方程式が得られ、ディラック方程式は相互作用を無視した近似としてのみ現れる。
• 第3段階における複素数がU(1)対称性を生成し、電荷および電荷を有する粒子-反粒子対（陽子-電子の電荷非対称性を含む）の存在を説明する。
• 第4段階におけるクォータニオンが2つのU(1)対称性（電荷と強い力の電荷）と1つのSU(2)対称性を生成し、アイソスピンおよび電弱 $SU(2)_L$ 群の基盤をなす。
• 第5段階におけるオクトンがSU(3)フレーバーおよび色対称性を生成し、オクトンの $G_2$ 自己同型群が強い相互作用の $SU(3)$ 不変性を説明する。
• ${\mathbb{C}\ell}(1,9}$ における32成分スピン形式空間は、3世代分の全フェルミオン内容に対応し、世代数はクォータニオンの生成子数（3つ）に一致する。
• ${\mathbb{C}\ell}(1,9)$ から ${\mathbb{C}\ell}(1,3)$ への次元削減は、余剰次元のコンパクト化ではなく、運動方程式のデカップリングに相当し、4次元ミンコフスキー時空が根本的な性質を保つ。