[論文レビュー] From the Sinai's walk to the Brox diffusion using bilinear forms

Carlos G. Pacheco|arXiv (Cornell University)|May 10, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ディリクレ形式と生成子収束を用いて、ランダム環境内のシナイトの無作為ウォークとブロックス拡散の間の厳密な関係を確立する。環境をスケーリングし、シナイトウォークの生成子が環境にほぼ確実にブロックス拡散の生成子に収束することを示すことにより、両プロセスが異なる局所的条件下で同一の微視的モデルから生じることを示し、環境を適切にスケーリングしたとき、ブロックス拡散が極限として現れることを示している。

ABSTRACT

Using the generators, we establish a connection between the Sinai's random walk and the so-called Brox process. We first find the Dirichlet form of the Brox diffusion, and then prove that it is the limit of the Dirichlet form of the Sinai's random walk. This also gives a natural way to connect between the Brox diffusion and the Brownian motion.

研究の動機と目的

• stochastic生成子とディリクレ形式を用いて、シナイトの無作為ウォークとブロックス拡散の直接的な関連を確立すること。
• 環境の特定のスケーリング下で、シナイトウォークの生成子がブロックス拡散の生成子に収束することを示すこと。
• ブロックス拡散とブラウン運動が、異なる局所的仕様のもとで同一の微視的系から生じることを示すこと。
• ランダム媒体における離散的無作為ウォークから拡散的過程への収束を理解する自然な枠組みを提供すること。

提案手法

• シナイトウォークとブロックス拡散の無限小生成子を比較するために、双線形形式とディリクレ形式の使用。
• 環境のスケーリングとして $ p_n(x) = \frac{1}{2} + \frac{q(x)}{n^{1/4}} $ の使用、ここで $ q(x) $ はベルヌーイ確率変数。
• 積分の平均値の定理を適用して、シナイトウォークの生成子を離散差分の形で表現。
• 確率積分理論を用いて、$ q_n(x) $ を含むドリフト項の極限を分析、ここで $ q_n(x) $ は $ \sqrt{\Delta_n} $ のスケールで変化する。
• 生成子 $ L^{(n)} $ が $ L^2 $ 収束して $ \frac{1}{2}f'' - \frac{1}{2}f' dW $ に収束することの証明の後、部分列に沿ったほとんど確実な収束を示す。
• 有界集合上で単調関数の一様収束（定理11）を用いて、証明における収束議論を支援。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロックス拡散を生成子収束を通じて、シナイトの無作為ウォークと厳密に結びつけるにはどうすればよいか？
• RQ2 ランダム環境のどのスケーリングが、シナイトウォークの極限としてブロックス拡散をもたらすか？
• RQ3 ブロックス拡散とブラウン運動が、同一の微視的モデルから生じるという意味は何か？
• RQ4 ブロックス拡散のディリクレ形式を明示的に導出し、それがシナイトウォークのディリクレ形式の極限として示せるか？

主な発見

• シナイトウォークの生成子は $ L^2 $ 収束で $ \frac{1}{2}f'' - \frac{1}{2}f' dW $ に収束し、これはブロックス拡散の生成子に一致する。
• 環境 $ W $ のほとんどすべての軌道に沿って、生成子のほとんど確実な収束が部分列に沿って成立する。
• 指定されたスケーリング下で、ブロックス拡散のディリクレ形式が、シナイトウォークのディリクレ形式の極限として特定される。
• 環境の増分の分散が $ \Delta^{1/2} $ のスケールで変化するとき、極限生成子はブロックス拡散に対応するが、もしそのスケールが遅ければ、極限はブラウン運動になる。
• 収束結果により、ブラウン運動とブロックス拡散が、環境の異なる局所的仕様のもとで、同一クラスの離散的過程の極限として生じることを示している。
• この手法により、ランダム媒体における拡散的挙動の出現を、生成子収束を通じて統一的に理解するフレームワークが提供される。