[論文レビュー] From unipotent classes to conjugacy classes in the Weyl group

G. Lusztig|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、体の特徴値 p に関する条件下で、再帰的代数群 G の単位的共轭類からそのウェイル群 W の共轭類への正規逆写像 Ψ を構成する。主な結果は、各単位的類 γ に対して、w ∈ W が反射表現上に作用する固定空間の次元 m_C が、唯一の共轭類 C₀ で最小値をとることであり、Ψ(γ) = C₀ と定義することで、Weyl 群の共轭類から単位的類への写像 Φ に対する一意的な片側逆写像が得られることである。

ABSTRACT

Let G be a connected reductive group. We define a map from the set of unipotent classes in G to the set of conjugacy classes in the Weyl group (assuming that the characteristic is not bad). This map is a one sided inverse of a map in the opposite direction constructed in an earlier paper.

研究の動機と目的

• 単位的類から Weyl 群の共轭類への正規逆写像 Ψ: 単位的類 → Weyl 群の共轭類を定義し、Φ ∘ Ψ = id を満たすこと。
• 写像 Φ: Weyl 群の共轭類 → 単位的類が一意的な片側逆写像をもつための条件を確立すること。
• 各単位的類 γ に対して、関数 C ↦ m_C（w ∈ C が反射表現上に作用する固定空間の次元）が Φ⁻¹(γ) 上で一意に最小値をとることを証明すること。
• 型 A における既知の結果を拡張し、型 B, C, D および例外型群に対し一様な構成を与えること。
• Ψ が単位的パーツと単位的概型の幾何的構造と整合することを検証すること。

提案手法

• Weyl 群 W の反射表現 V における w ∈ C の作用に対する固定点空間の次元 m_C を定義する。
• 整数分割に関する組合せ的構造 P¹, T, S, P⁰, Q, R を用い、単位的類および Weyl 群の共轭類をパラメトライズする。
• A′_n → T_n への双対写像 ι とその逆写像 ι′ を構成し、任意の c* ∈ T_n に対して、|p*| が最小となる唯一の (r*, p*) ∈ S × P̃ が存在することを示す。
• 任意の c* ∈ T_n に対して、(r*, p*) = ι′(c*) が p* の成分数を最小化することを証明し、m_C の最小値が一意であることを保証する。
• P_κ^n → R_n への写像 Ξ を用い、分割を Weyl 群の共轭類と関連づける。Ξ と Ξ′ が互いに逆写像であることを示す。
• 不等式 N′_e ≥ N_e を用いて m_C の最小値の一意性を検証し、すべての e に対して等号が成り立つのは (r′*, p′*) = (r*, p*) のときのみであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p が悪い素数でないか、G が例外型のとき、関数 C ↦ m_C が Φ⁻¹(γ) 上で各単位的類 γ に対して一意に最小値をとるか。
• RQ2 m_C の最小化によって、単位的類から Weyl 群の共轭類への正規逆写像 Ψ: 単位的類 → Weyl 群の共轭類を定義可能か。
• RQ3 ここで構成された写像 Ψ は、単位的概型の幾何的単位的パーツ分解と整合性を有するか。
• RQ4 p = 0 のとき、Ψ は [KL, 節 9] で定義された写像と一致するか。
• RQ5 分割に関する組合せ的構造（T_n, R_n など）は、Weyl 群の共轭類およびそれらの固定空間次元をどのように記述するか。

主な発見

• 任意の単位的類 γ に対して、関数 C ↦ m_C は Φ⁻¹(γ) 内の唯一の共轭類 C₀ で最小値をとり、これにより写像 Ψ: γ ↦ C₀ が一意に定義可能であることが保証される。
• 写像 Ψ: 単位的類 → Weyl 群の共轭類 は Φ ∘ Ψ = id を満たし、Φ に対する片側逆写像としての性質を有する。
• 最小化の対象 C₀ の一意性は、任意の他の (r′*, p′*) ∈ ι⁻¹(c*) に対して ∑_e N′_e > ∑_e N_e が成り立つことにより、組合せ論的に証明される。これにより m_{C′} > m_C が得られる。
• 型 A では写像 Φ が双対写像であるため、Ψ は自明に定義可能であり、Φ の逆写像と一致する。
• 型 B, C, D および例外型群では、分割論的双対写像（例：Ξ および ι′）を用いて、m_C が最小となる場合をパラメトライズする。
• 正の特徴値 p では、Ψ は特定の類に対して修正される：p = 2 または p = 3 のとき、一部の単位的類が複数の類に分裂し、Ψ はねじれまたは修正された共轭類（例：(A₃ + A₂)₂, (D₈)₃）へ写像する。このとき最小性条件は保持される。