[論文レビュー] From van der Corput to modern constructions of sequences for quasi-Monte Carlo rules

Henri Faure, Peter Kritzer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2015

Mathematical Approximation and Integration参考文献 147被引用数 44

ひとこと要約

この論文は、1935年のヴァン・デル・コルプトの古典的系列から、現代の準モンテカルロ（QMC）構成へと至る発展を調査し、デジタル $(t,s)$-系列およびその一般化に焦点を当てている。高次系列に対して、$L_p$-不均一性の最適な境界 $(\log N)^{s/2}/N$ を確立し、滑らかな関数に対する数値積分における優位性を示している。

ABSTRACT

In 1935 J.G. van der Corput introduced a sequence which has excellent uniform distribution properties modulo 1. This sequence is based on a very simple digital construction scheme with respect to the binary digit expansion. Nowadays the van der Corput sequence, as it was named later, is the prototype of many uniformly distributed sequences, also in the multi-dimensional case. Such sequences are required as sample nodes in quasi-Monte Carlo algorithms, which are deterministic variants of Monte Carlo rules for numerical integration. Since its introduction many people have studied the van der Corput sequence and generalizations thereof. This led to a huge number of results. On the occasion of the 125th birthday of J.G. van der Corput we survey many interesting results on van der Corput sequences and their generalizations. In this way we move from van der Corput's ideas to the most modern constructions of sequences for quasi-Monte Carlo rules, such as, e.g., generalized Halton sequences or Niederreiter's $(t,s)$-sequences.

研究の動機と目的

• ヴァン・デル・コルプトの2進系列から現代のQMC系列への数学的系譜をたどること。
• 一般化されたヴァン・デル・コルプト系列および関連系列の均一分布性と不均一性境界を分析すること。
• デジタル $(t,s)$-系列、特に高次系列に対する最適な $L_p$-不均一性境界を確立すること。
• コクスマ＝フラウカ不等式を通じて理論的不均一性結果と実用的準モンテカルロ積分誤差を結びつけること。
• 現代のQMC応用に向けた主要な構成（$(t,s)$-系列、ハルトン系列、ハミングレー系列、ニーダーレイター系列）の包括的概説を提供すること。

提案手法

• 基数 $b$ における桁の反転を用いてヴァン・デル・コルプト系列を分析し、2進展開を用いて $[0,1)$ 内に均一に分布する点を生成する。
• 星不均一性 $D_N^*$ および $L_p$-不均一性 $L_{p,N}$ を含む不均一性理論の枠組みを適用し、均一性を評価する。
• フォン・ノイマン＝カクトニ変換および有界剰余集合を用いて、系列の分布的性質を研究する。
• 基本的降下法を用いて、一般化されたヴァン・デル・コルプト系列の不均一性境界を導出する。
• アタナソフの方法およびその改良を用いて、$(t,s)$-系列の非漸近的不均一性境界を導出する。
• デジタルネットおよびインターリービング技術を用いて高次系列を構築し、最適な $L_p$-不均一性レートを達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元々のヴァン・デル・コルプト系列の分布的性質は、高次元および他の基数へとどのように一般化されるか？
• RQ2 現代の $(t,s)$-系列、特に $L_p$-意味で最適な不均一性境界は何か？
• RQ3 高次系列は高次元において理論的下界に達する $L_p$-不均一性を達成できるか？
• RQ4 一般化されたニーダーレイター系列とハルトン系列は、不均一性および積分性能においてどのように比較されるか？
• RQ5 $t$-値および桁のスクラッチングは、準モンテカルロ法における積分誤差の最小化に果たす役割は何か？

主な発見

• デジタル $(t,s)$-系列の $L_p$-不均一性は、$O_{s,p}((\log N)^{s/2}/N)$ で有界であり、定数を除いて既知の下界と一致する。
• 定理56は、$\mathbb{F}_2$ 上に構築された高次系列が、すべての $p \in [1,\infty)$ に対して最適な $L_p$-不均一性を達成することを示している。
• 定理53〜55では、$N$、$b$、$t$ に明示的な依存関係を含む、$(t,s)$-系列の改善された非漸近的不均一性境界が得られている。
• 一般化されたニーダーレイター系列が $(0,\mathbf{e},s)$-系列であることが示され、多項式の次数 $e_j$ を用いたより緊密な不均一性推定が可能になった。
• 定理55における一般化されたニーダーレイター系列の境界には、$\frac{b^{e_j}-1}{2e_j}$ を含む項が含まれており、多項式の無限性および次数の影響が反映されている。
• 数値実験により、定理53および54の境界が、特に中程度の $N$ において、定理52の境界を上回ることが示唆されている。