[論文レビュー] From vertex operator algebras to conformal nets and back

Sebastiano Carpi, Yasuyuki Kawahigashi+2 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Mar 4, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 88被引用数 39

ひとこと要約

本稿は、代数的量子場理論における主要な構造である強局所的ユニタリ頂点 operator 代数（VOA）と conformal net の間で、きめ細やかで可逆な対応関係を確立する。エネルギー限界と強い局所性を満たす VOA から conformal net を構成し、内積の選び方に依存しないことを証明し、VOA がネットから回復可能であることを示す。これにより、自然な解析的条件下で、2 つの主要な chiral conformal field theory の定式化が深く同等であることが証明される。

ABSTRACT

We consider unitary simple vertex operator algebras whose vertex operators satisfy certain energy bounds and a strong form of locality and call them strongly local. We present a general procedure which associates to every strongly local vertex operator algebra V a conformal net A_V acting on the Hilbert space completion of V and prove that the isomorphism class of A_V does not depend on the choice of the scalar product on V. We show that the class of strongly local vertex operator algebras is closed under taking tensor products and unitary subalgebras and that, for every strongly local vertex operator algebra V, the map W\mapsto A_W gives a one-to-one correspondence between the unitary subalgebras W of V and the covariant subnets of A_V. Many known examples of vertex operator algebras such as the unitary Virasoro vertex operator algebras, the unitary affine Lie algebras vertex operator algebras, the known c=1 unitary vertex operator algebras, the moonshine vertex operator algebra, together with their coset and orbifold subalgebras, turn out to be strongly local. We give various applications of our results. In particular we show that the even shorter Moonshine vertex operator algebra is strongly local and that the automorphism group of the corresponding conformal net is the Baby Monster group. We prove that a construction of Fredenhagen and Jörss gives back the strongly local vertex operator algebra V from the conformal net A_V and give conditions on a conformal net A implying that A= A_V for some strongly local vertex operator algebra V.

研究の動機と目的

• ユニタリ頂点 operator 代数と conformal net の間で、chiral conformal field theory の基礎的枠組みとしてのきめ細やかな数学的対応関係を確立すること。
• エネルギー限界と強い局所性を満たす「強局所的 VOA」というクラスの VOA を定義し、特徴づけ、演算子代数的アプローチと整合性を持つようにすること。
• このような VOA から得られる conformal net の構成が、VOA 上のスカラー積の選び方に依存しないことを証明し、定義が正当であることを保証すること。
• VOA のユニタリ部分代数とその関連する conformal net の共変部分ネットの間の対応が一対一であることを示すこと。
• 既知の VOA である moonshine VOA やユニタリ Virasoro 代数が強局所的であることを示し、それらに関連するネットが全自己同型群（例：Baby Monster 群）を実現することを示すこと。

提案手法

• エネルギー限界と頂点作用素における強い局所性条件を満たすユニタリで単純な VOA を『強局所的 VOA』として定義する。
• 強局所的 VOA $V$ のヒルベルト空間完備化上に、頂点作用素とそのスメアーフィールドを用いて conformal net $\mathcal{A}_V$ を構成する。
• ネット $\mathcal{A}_V$ が Möbius 共変性、等方性、局所性を満たすことを証明し、有効な conformal net であることを示す。
• Bisognano-Wichmann 性質と解析接続技術（シュワルツの反射原理を用いて）を用い、ハミルトニアンの定義域性とエネルギー限界の性質を確立する。
• Fredenhagen-Jörß の構成の一般化を用いて、元の VOA を conformal net から再構成し、完全な可逆性を証明する。
• 既知の VOA（例：Virasoro、房代数、$c=1$、moonshine）に理論を適用し、それらが強局所的であることを検証し、関連するネットの明示的実現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー限界と強い局所性を満たすユニタリ頂点 operator 代数が、内積の選び方に依存しない形で、一貫した conformal net に一意に対応づけられるか。
• RQ2 VOA のユニタリ部分代数とその関連する conformal net の共変部分ネットとの間の対応が一対一であるか。
• RQ3 元の頂点 operator 代数は、その関連する conformal net から再構成可能か。その再構成が成立する条件は何か。
• RQ4 既知の VOA（例：moonshine、$c=1$、房代数）の中で、強局所的であるものはどれか。また、それらに関連する conformal net の対称性は何か。
• RQ5 どのような解析的および代数的条件が、強局所的 VOA から生じる conformal net が得られるか。

主な発見

• 強局所的 VOA $V$ から構成される conformal net $\mathcal{A}_V$ の構成は、$V$ 上のスカラー積の選び方に依存しない。これにより、定義の正当性が保証される。
• 写像 $W \mapsto \mathcal{A}_W$ は、$V$ のユニタリ部分代数 $W$ と $\mathcal{A}_V$ の共変部分ネットとの間で一対一対応を与える。
• 月の VOA の偶数短い版が強局所的であることが示され、その関連する conformal net の自己同型群は Baby Monster 群に同型である。
• Fredenhagen-Jörß の構成により、元の強局所的 VOA はその関連する conformal net から再構成可能であり、可逆な双対性が確立される。
• 強局所的 VOA のクラスは、テンソル積およびユニタリ部分代数の取り扱いに関して閉じており、自然な代数的演算に対して安定である。
• Virasoro、房代数、$c=1$、moonshine VOA といった既知の例は、すべて強い局所性条件を満たしており、conformal net の形式的枠組みと整合的であることが確認された。