[論文レビュー] From Vlasov-Poisson-Boltzmann system to incompressible Navier-Stokes-Fourier-Poisson system: convergence for classical solutions

Mengmeng Guo, Ning Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2020

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 56被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Knudsen数 ε → 0 の極限において、1成分のVlasov-Poisson-Boltzmann (VPB) 系から非圧縮性Navier-Stokes-Fourier-Poisson (NSFP) 系への古典的解の収束を厳密に確立する。Sobolev空間における一様エネルギー推定を用いて、初期データが小さい場合の全局的古典的解の存在を証明し、Navier-Stokesスケーリングにおけるフラクチュエーションの強収束を介して、流体力学的極限を正当化する。

ABSTRACT

For the one-species Vlasov-Poisson-Boltzmann (VPB) system in the scaling under which the moments of the fluctuations formally converge to the incompressible Navier-Stokes-Fourier-Poisson (NSFP) system, we prove the uniform estimates with respect to the Knudsen number $ε$ for the fluctuations. As a consequence, the existence of the global-in-time classical solutions of VPB with all $ε\in (0,1]$ is established in whole space under small size of initial data, and the convergence to incompressible NSFP as $ε$ go to 0 is rigorously justified.

研究の動機と目的

• Knudsen数 ε → 0 の極限において、1成分のVlasov-Poisson-Boltzmann系から非圧縮性Navier-Stokes-Fourier-Poisson系への流体力学的極限を正当化すること。
• 初期データが十分に小さい場合、全空間において ε ∈ (0,1] に対して一様に、VPB系の時間全域における古典的解の存在を確立すること。
• グローバルマクスウェルアンにまわりのフラクチュエーションに対する ε に依存しない一様エネルギー推定を導出し、極限の正当化を可能にすること。
• ε → 0 の極限において、フラクチュエーション gε が非圧縮性NSFP系の解に収束することを厳密に証明すること。
• 流体力学的極限における力学的変数と流体変数の結合を、ポアソン方程式およびBoussinesq関係を通じて分析すること。

提案手法

• fε = M(1 + εgε) によりフラクチュエーション変数 gε を導入し、M をグローバルマクスウェルアンとして、VPB系を平衡状態まわりで線形化する。
• 線形化されたボルツマン作用素 L と衝突作用素 Q を含む摂動VPB系を導出し、自己準拠電場ポテンシャル φε と結合する。
• フラクチュエーション gε について、Sobolev空間 H^N における一様エネルギー推定を確立し、空間的・速度的・混合微分を、運動論的および流体的散逸によって制御する。
• L = ν + K と分解し、ν を衝突周波数、K を積分作用素とする。これにより、速度空間におけるスペクトルギャップを活用し、散逸を獲得する。
• マクロ・ミクロ分解を用いて、射影 P を通じた流体部と、P⊥ を通じた運動論的部に分離し、流体および運動論的エネルギー推定を別々に取り扱う。
• Sobolev空間における流体変数 (ρε, uε, θε) および電場ポテンシャル φε の強収束を用いて、ε → 0 の極限に移行し、非圧縮性NSFP方程式を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Knudsen数 ε → 0 の極限において、Vlasov-Poisson-Boltzmann系の古典的解が、非圧縮性Navier-Stokes-Fourier-Poisson系の解に収束するか？
• RQ2 ε ∈ (0,1] に対して一様に、VPB系の時間全域における古典的解の存在を保証するための、どのような一様エネルギー推定が必要か？
• RQ3 流体力学的極限において、流体変数（密度 ρ、速度 u、温度 θ）と電場ポテンシャル φε はどのように相互作用するか？
• RQ4 Boussinesq関係は、極限系における流体変数と電場ポテンシャルを結ぶ役割を果たすか？
• RQ5 Sobolev空間の強い位相において、フラクチュエーション gε がNSFP系の解に収束することは正当化可能か？

主な発見

• 初期データが H^N 範囲で十分に小さい限り、全空間 ℝ³ × ℝ³ において、すべての ε ∈ (0,1] に対してVPB系の時間全域における古典的解が存在する。
• フラクチュエーション gε について、H^N における一様エネルギー推定が確立され、ε に依存しない境界が得られる。これにより、ε → 0 の極限への移行が可能となる。
• ε → 0 の極限において、フラクチュエーション gε は L∞(ℝ⁺; H^N) で非圧縮性NSFP系の解に強収束する。
• 極限系は、Boussinesq関係 Δx(ρ + θ) = γ²ρ および非圧縮性条件 ∇x·u = 0 を満たす非圧縮性Navier-Stokes-Fourier-Poisson方程式である。
• 流体変数 ρε, uε, θε およびポテンシャル φε の収束は、それぞれ H^N−1 および H^N−2 空間で強い収束を示し、極限方程式が強い位相で回復されることを保証する。
• 極限系には、∂t(3/5 θ − 2/5 ρ) + u·∇x(3/5 θ − 2/5 ρ) = κΔxθ という方程式が含まれており、これが流体力学的極限における温度-密度組み合わせの時間発展を記述する。