[論文レビュー] From Wigner-Yanase-Dyson conjecture to Carlen-Frank-Lieb conjecture (New title)

Haonan Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2018

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、正定値行列と任意の正則行列 K を含むトレース関数の同時凸性／凹性に関する Carlen-Frank-Lieb 予想を確認する。精密な変分法を用いて、関数 $\Psi_{p,q,s}(A,B) = \text{Tr}\left( B^{q/2} K^* A^p K B^{q/2} \right)^s$ が同時凸または凹性を示すパラメータの全範囲 (p, q, s) を特定し、量子情報および数学的物理における長年の予想を解決する。特に、量子チャネル下での $\alpha$-$z$ レニー相対エントロピーの単調性も含む。

ABSTRACT

In this paper we study the joint convexity/concavity of the trace functions \[ Ψ_{p,q,s}(A,B)= ext{Tr}(B^{\frac{q}{2}}K^*A^{p}KB^{\frac{q}{2}})^s,~~p,q,s\in \mathbb{R}, \] where $A$ and $B$ are positive definite matrices and $K$ is any fixed invertible matrix. We will give full range of $(p,q,s)\in\mathbb{R}^3$ for $Ψ_{p,q,s}$ to be jointly convex/concave for all $K$. As a consequence, we confirm a conjecture of Carlen, Frank and Lieb. In particular, we confirm a weaker conjecture of Audenaert and Datta and obtain the full range of $(α,z)$ for $α$-$z$ Rényi relative entropies to be monotone under completely positive trace preserving maps. We also give simpler proofs of many known results, including the concavity of $Ψ_{p,0,1/p}$ for $0

研究の動機と目的

• すべての正則行列 K および正定値行列 A, B に対して、関数 $\Psi_{p,q,s}(A,B) = \text{Tr}\left( B^{q/2} K^* A^p K B^{q/2} \right)^s$ の同時凸性／凹性に関する Carlen-Frank-Lieb 予想を解決すること。
• 関数 $\Psi_{p,q,s}$ が同時凸または凹性を示すパラメータの全範囲 $(p,q,s) \in \mathbb{R}^3$ を特定すること。
• Audenaert と Datta が提起した、完全正倣トレース保存写像下での $\alpha$-$z$ レニー相対エントロピーの単調性に関する弱い予想を確認すること。
• 既知の結果（特に $0 < p < 1$ のときの $\Psi_{p,0,1/p}$ の凹性）を、従来の複素解析的手法よりも単純な変分法に基づく統一的証明を提供すること。

提案手法

• 新規の変分法を用いて、$\Psi_{p,q,s}$ の変分表現を構築し、問題を $\Psi_{p,1-p,1}(A,B) = \text{Tr}(K^* A^p K B^{1-p})$ の同時凸性／凹性の分析に還元する。
• $0 < p < 1$ の場合に適用可能な変分恒等式 $\text{Tr}(X^* A^p X)^{1/p} = \max_{Z \in \mathcal{P(H)}^\times} \left\{ \frac{1}{p} \text{Tr}|A^{p/2} X Z|^{2} - \frac{1-p}{p} \text{Tr}|Z|^{2/(1-p)} \right\}$ と、$1 < p \leq 2$ の場合の双対最小化形式を用い、トレース関数をインフラ・スーパーマックス型最適化問題として表現する。
• Ando の凸性定理と Lieb の凹性定理を基盤として、得られた変分表現の凸性／凹性を分析する。
• 双対性とスケーリング性の性質を活用し、一般の $\Psi_{p,q,s}$ の場合をより単純な $\Psi_{p,1-p,1}$ の場合に還元する双対的議論を適用する。
• 特に命題 2.3 や既知の結果を用いて、パラメータ範囲の鋭さを示す反例を構築する。
• 従来の複素解析的手法に代わる、実変数に基づく変分法による単純化されたフレームワークを体系的に構築し、特に $\Psi_{p,0,1/p}$ の凹性証明を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての正則行列 K および正定値行列 A, B に対して、トレース関数 $\Psi_{p,q,s}(A,B) = \text{Tr}\left( B^{q/2} K^* A^p K B^{q/2} \right)^s$ が同時凸または凹性を示すパラメータの全範囲 $(p,q,s) \in \mathbb{R}^3$ は何か？
• RQ2 Carlen-Frank-Lieb 予想（$1 \leq p \leq 2$, $-1 \leq q < 0$, $(p,q) \neq (1,-1)$, および $s \geq \frac{1}{p+q}$ のとき $\Psi_{p,q,s}$ が同時凸）は、すべての such K に対して成り立つか？
• RQ3 完全正倣トレース保存写像下での $\alpha$-$z$ レニー相対エントロピーの単調性は、$\Psi_{p,q,s}$ の凸性から導かれるパラメータ範囲によって完全に特徴づけられるか？
• RQ4 従来の複素解析法によって示された $0 < p < 1$ のときの $\Psi_{p,0,1/p}$ の同時凹性は、より単純な実変数に基づく変分法によって再導出可能か？
• RQ5 関数 $\Psi_{p,q,s}$ の凸性／凹性領域の正確な境界は何か？ また、点 $(1,-1)$ および $(-1,1)$ が除外される理由は何か？

主な発見

• 本論文は、すべての正則行列 K に対して $\Psi_{p,q,s}$ の同時凸性および凹性を完全に特徴づける。$0 \leq q \leq p \leq 1$ かつ $0 < s \leq \frac{1}{p+q}$ のとき、関数は同時凹性を示す。$-1 \leq q \leq p \leq 0$ かつ $s > 0$ のとき、関数は同時凸性を示す。また、$-1 \leq q \leq 0$, $1 \leq p \leq 2$, $(p,q) \neq (1,-1)$, かつ $s \geq \frac{1}{p+q}$ のときも、関数は同時凸性を示す。
• Carlen-Frank-Lieb 予想は確認された：$1 \leq p \leq 2$, $-1 \leq q < 0$, $(p,q) \neq (1,-1)$, および $s \geq \frac{1}{p+q}$ のとき、$\Psi_{p,q,s}$ は同時凸である。
• $\alpha$-$z$ レニー相対エントロピー $D_{\alpha,z}$ が完全正倣トレース保存写像下で単調となるパラメータ範囲が完全に特定された。単調性が成り立つのは次のいずれかのときである：(1) $0 < \alpha < 1$, $z \geq \max\{\alpha, 1-\alpha\}$；(2) $1 < \alpha \leq 2$, $\frac{\alpha}{2} \leq z \leq \alpha$；(3) $2 \leq \alpha < \infty$, $\alpha - 1 \leq z \leq \alpha$。
• 従来の複素解析法によって示された $0 < p < 1$ のときの $\Psi_{p,0,1/p}$ の凹性について、より単純な実変数に基づく変分法による証明が提供された。
• 凸性のパラメータ範囲は鋭い：命題 2.3 により、$s$ のより大きな領域では同時凸性が成立しないことが示された。
• 変分法は多演算子トレース関数へ一般化可能であるが、$n \geq 3$ 個の演算子では、変分恒等式に非分離項が生じるため、追加の仮定が必要となる。