[論文レビュー] Fuchsia and master integrals for splitting functions from differential equations in QCD

O. Gituliar, Vitaly Magerya|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2016

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ローマ・リーの微分方程式のフェニマン・マスターコンポーネントを正規形に還元するためのアルゴリズムのオープンソースPython実装、Fuchsiaを提示する。fuchsification、正規化、因数分解のステップを用いて、自動的かつ体系的な還元を可能とし、QCDにおけるNLOスプリットティング関数に実際に適用した。6×6系の明示的結果が得られ、高精度かつ多ループ計算に拡張可能なことが示された。

ABSTRACT

We report on the recent progress in reducing differential equations for Feynman master integrals to canonical form with the help of a method proposed by Roman Lee. For the first time, we present Fuchsia --- our open-source implementation of the Lee algorithm written in Python using mathematical routines of a free computer algebra system SageMath. We demonstrate Fuchsia by reducing differential equations for NLO contributions to splitting functions in QCD, which contain both loops and legs integrals.

研究の動機と目的

• 量子場理論における微分方程式を正規形に還元するローマ・リーの手法の公開利用可能な実装が不足しているという問題に対処すること。
• 多ループおよびフェーズスペースのフェニマン積分に生じる複雑な微分方程式系の自動還元を実現すること。
• SageMathを用いた記号計算の自由なコンピュータ代数システムを活用し、将来の高エネルギー物理学の高精度計算を支援するスケーラブルでオープンソースのソリューションを提供すること。
• 体系的なマスターマトリクス系の還元を通じて、QCDにおける次-leading order (NLO) および次々次 Leading Order (NNLO) スプリットティング関数の計算を可能にすること。

提案手法

• Fuchsiaはリーの三段階アルゴリズムを実装している：不規則特異点を除去するfuchsification、固有値をεの整数倍に設定する正規化、および正規形に比例するεを達成する因数分解。
• fuchsificationステップでは、修正されたMoser還元とP-バランス変換を用い、特異点{0,1,∞}におけるPoincaréランク{2,1,0}を持つ系を、Poincaréランクがすべて0のFuchs型系に変換する。
• 正規化は、一般化固有ベクトルから導かれる射影子を用いて特異点における固有値を反復的に調整することで達成され、留数の和がゼロのまま保たれるようにする。
• 因数分解では定数変換を適用し、正規形 ∂g/∂x = εS(x)g として系を表現する。ここでS(x)は有理係数を持ち、εは次元正則化パラメータである。
• ブロック上三角およびスパース行列構造をサポートすることで、大規模系における性能が向上し、ユーザーが制御可能なランダムシードを用いて異なる有効な正規形を探索可能である。
• FuchsiaはSageMathに基づいて構築されており、記号計算のための自由なコンピュータ代数システムを活用しており、多変数およびマルチスケール系への拡張性を備えている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェニマン・マスターコンポーネントの微分方程式の正規形が、公開利用可能なオープンソースツールを用いて体系的かつ自動的に計算可能かどうか。
• RQ2 リーのアルゴリズムの実装が、NLO QCDスプリットティング関数に由来する複雑な非Fuchs型系を正規形に還元する際にどの程度効果的か。
• RQ3 Fuchsiaツールが、複数の特異点（複素数を含む）を持つ大規模系に対して、性能とスケーラビリティはどの程度か。
• RQ4 アルゴリズム的選択（たとえばランダムシードの選択）によって、正規形を一意に定めたり、ユーザーが影響を及けることはどの程度可能か。
• RQ5 SageMathのような現在の記号計算システムが、複雑な特異点や多変数系を処理する際に抱える制限は何か。それらをどのように克服できるか。

主な発見

• Fuchsiaは、QCDにおけるNLOスプリットティング関数の6×6微分方程式系を正規形に還元し、望ましいε比例構造 ∂g/∂x = εS(x)g を達成した。
• fuchsificationおよび正規化後の正規化済み系では、固有値がεに比例し、行列構造がxおよび1−xに関して有理関数的依存を示した。
• 最終的な正規形は定数変換行列T(x,ε)を用いて達成され、明示的に計算され、x=0およびx=1に極を持つ有理関数S(x)行列が得られた。
• ツールは、20個の特異点と3×3の結合ブロックを有する74×74行列を、標準ラップトップ上で約1時間で還元することで、スケーラビリティを示した。
• 課題が存在したが、Fuchsiaは高精度計算のための堅牢なフレームワークを提供しており、NNLOおよびマルチスケール系への拡張が予想される。
• SageMathにおける複雑な多項式因数分解の処理に限界が見られ、現在のところ、複素数特異点を有する系の完全自動化を妨げている。