[論文レビュー] Fuchsian subgroups of lattices acting on hermitian symmetric spaces

Ted Chinburg, Matthew Stover|arXiv (Cornell University)|May 5, 2011

Advanced Algebra and Geometry被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ヘルミート対称空間上で作用する、非可約で共通コンパクトな算術的格子内のフクシアン部分群を調査し、特に、有限個の共役が有限指数部分群を生成する条件に焦点を当てる。SL₂(ℝ) × SL₂(ℝ) 格子では、マーガリスの正規部分群定理により、このような生成が保証されるが、SU(2,1) 格子の場合は未解決であり、本論文は、以前のプレプリントにおける自明な自己交差に関する誤りを指摘している。

ABSTRACT

We thank Michael Kapovich for pointing out that §3 of the preprint of this title posted on May 5, 2011 contains an error, where we state that certain self-intersections are trivial. As a result, the proofs given for the main results (Theorems 1.1, 1.2 and 1.3) in that preprint are not correct. As in the May 5 preprint, let G be either the group SL2(R) × SL2(R) or the group SU(2, 1). Suppose Γ is an irreducible co-compact arithmetic lattice in G and that Γ contains a Fuchsian subgroup Σ. In a later version of this preprint, we will study sufficient criteria for particular sets of Fuchsian groups of Γ to generate a subgroup of finite index. When G = SL2(R)× SL2(R) and Γ and Σ are as above, it is well known that a finite set of conjugates of Σ suffices to generate a subgroup of finite index in Γ. Indeed, Margulis’s Normal Subgroup Theorem [1, Theorem A, Chapter VIII] applies, since G has real rank two, and implies that the normal closure of a Fuchsian subgroup of a lattice is again a lattice. Since lattices are finitely generated, a finite number of these conjugates suffices to generate a lattice inside Γ. We do not now know, however, whether a finite set of conjugates of Σ generates a subgroup of finite index in Γ when G = SU(2, 1).

研究の動機と目的

• 算術的格子内のフクシアン部分群の有限集合が有限指数部分群を生成するための十分条件を特定すること。
• 自己交差が自明であると誤って主張した過去のプレプリントにおける欠陥を是正すること。
• G = SL₂(ℝ) × SL₂(ℝ) および G = SU(2,1) の共通コンパクトな算術的格子におけるフクシアン部分群の構造的挙動を調査すること。
• SU(2,1) 格子において、フクシアン部分群の有限個の共役が有限指数部分群を生成するかどうかを明確にすること。現時点ではその結果は不明である。

提案手法

• 実ランク2の群に対してマーガリスの正規部分群定理を適用し、SL₂(ℝ) × SL₂(ℝ) 格子における有限指数生成を確立する。
• 算術的格子内におけるフクシアン部分群の正規閉包を分析し、有限指数性を推論する。
• 格子 Γ の共通コンパクト性と算術的性質を用いて、フクシアン部分群 Σ の構造を制約する。
• ヘルミート対称空間上で作用する格子における共共役と生成に関する群論的技法を適用する。
• SL₂(ℝ) × SL₂(ℝ) の結果を直接一般化できないようにする、SU(2,1) 格子における構造的障害を同定する。
• 群作用における特定の自己交差が自明であるという主張に誤りがあったこと、それに対する是正を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フクシアン部分群の有限個の共役が、算術的格子内で有限指数部分群を生成する条件は何か？
• RQ2 2011年5月5日付プレプリントにおける証明が、自己交差に関する誤った仮定により失敗する理由は何か？
• RQ3 マーガリスの正規部分群定理を SU(2,1) 格子へ拡張し、有限指数生成を確立できるか？
• RQ4 SU(2,1) の格子 Γ において、フクシアン部分群 Σ の有限個の共役のみを用いて有限指数部分群を生成することは可能か？
• RQ5 SU(2,1) 格子のどのような構造的性質が、SL₂(ℝ) × SL₂(ℝ) の議論を直接適用できないようにするか？

主な発見

• マーガリスの正規部分群定理を用いることで、G = SL₂(ℝ) × SL₂(ℝ) において、フクシアン部分群の共役による有限指数部分群の有限生成が確認された。
• 2011年5月5日付プレプリントの証明は、特定の自己交差が自明であると誤って主張したため、無効である。
• G = SU(2,1) においては、フクシアン部分群の有限個の共役が有限指数部分群を生成するかどうかは、未だ不明である。
• 共通コンパクトな算術的格子におけるフクシアン部分群の正規閉包は格子であるが、これは SU(2,1) の場合に、有限個の共役による有限生成を示すものではない。
• SU(2,1) 格子の構造的複雑性が、SL₂(ℝ) × SL₂(ℝ) の結果を直接一般化するのを妨げる障害をもたらしている。
• SU(2,1) の文脈において有限指数生成を確立するための新たな十分条件の必要性を本論文は同定した。