[論文レビュー] Fuglede's conjecture is false in 5 and higher dimensions

Terence Tao|ArXiv.org|Jun 8, 2003

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℝ⁵およびそれ以上の次元においてFugledeの予想を反証する。ℝ⁵内に単位立方体の有限和集合を構成し、それが正規直交指数関数基底（すなわち、スペクトル的）をもつが、平行移動によるℝ⁵のタイリングをしないことを示した。反例は、ℤ₂¹²およびℤ₃⁶における有限アーベル群の反例を、ハダマード行列を用いて構築し、転送原理を用いてℝ⁵に移行することで得られた。これにより、高次元においてスペクトル集合と平行移動タイリングが同値でないことが示された。

ABSTRACT

We give an example of a set $Ω\subset \R^5$ which is a finite union of unit cubes, such that $L^2(Ω)$ admits an orthonormal basis of exponentials $\{\frac{1}{|Ω|^{1/2}} e^{2πi ξ_j \cdot x}: ξ_j \in Λ\}$ for some discrete set $Λ\subset \R^5$, but which does not tile $\R^5$ by translations. This answers a conjecture of Fuglede in the negative, at least in 5 and higher dimensions.

研究の動機と目的

• Fugledeの予想を反証すること。この予想は、ある集合が、指数関数の正規直交基底をもつ（すなわちスペクトル的である）ことと、平行移動によってℝⁿをタイリングすることとが同値であると主張している。
• n ≥ 5のℝⁿにおいて、スペクトル的ではあるがタイリングをしない集合の具体的な反例を構成し、高次元における予想の反証を図ること。
• ℤ₂¹²およびℤ₃⁶における有限アーベル群の反例を、転送技術を用いて連続的設定ℝ⁵に拡張すること。
• スペクトル集合予想の限界を明確にし、たとえば低次元または凸性の制約下では依然として成り立つ可能性がある条件を同定すること。

提案手法

• 12が2¹²を割り切らないことから、ℤ₂¹²においてはタイリングが成立しないことを示すために、Ω₀ ⊂ ℤ₂¹²を標準基底ベクトルの集合とする。
• 12×12のハダマード行列を用いて、Λ₀ ⊂ ℤ₂¹²を定義し、{e²πiξ·x / √12}（ξ ∈ Λ₀）がl²(Ω₀)における正規直交基底をなすようにする。
• ℤ₃⁵の6要素部分集合Ω₁ ⊂ ℤ₃⁵を用い、3⁵が6を割り切らないことから、ℤ⁵においてはタイリングが成立しないが、スペクトル的であることを示す。
• 離散反例をℝ⁵に持ち上げるために転送論法を適用し、Ω₂ = Ω₁ + [0,1)⁵およびΛ₂ = Λ₁ + ℤ⁵を定義することで、スペクトル性が保たれることを示す。
• 背理法を用いて、Ω₂がℝ⁵を平行移動でタイリングしないことを証明する。タイリングが存在すると仮定すると、境界効果と立方体被覆の議論を用いた局所密度推定において、基数の不一致が生じる。
• アニュラスと立方体の重複に関する測度論的および組合せ論的推定を用い、Ω₂の局所密度が6/3⁵ = 2/81であることを示す。この密度比は無理数的性質を示し、タイリングと矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fugledeの予想が主張するように、任意の指数関数の正規直交基底（すなわちスペクトル的）をもつ集合は、必ず平行移動によってℝⁿをタイリングするのだろうか？
• RQ2 ℝⁿ（n ≥ 5）において、単位立方体の有限和集合がスペクトル的であるが、タイリングをしないことは可能だろうか？
• RQ3 有限体上のハダマード行列は、有限アーベル群におけるスペクトル集合予想の反例を構成するために果たす役割は何か？
• RQ4 有限群反例は、転送原理を用いてどの程度連続的設定ℝⁿに拡張可能だろうか？
• RQ5 Fugledeの予想は、ℝ¹やℝ²のような低次元では依然として成立するのだろうか、あるいは凸性などの追加の幾何的制約のもとでは成立するのだろうか？

主な発見

• 本稿は、ℝ⁵内の単位立方体の有限和集合であるΩ₂ ⊂ ℝ⁵を明示的に構成し、それが指数関数の正規直交基底をもつこと（スペクトル的であることを）証明した。
• Ω₂がℝ⁵を平行移動でタイリングしないことは、タイリングが存在すると仮定した場合の局所密度推定における矛盾から示された。
• 反例は、3⁵が6を割り切らないことから、ℤ₃⁵の6要素部分集合がスペクトル的ではあるがタイリングをしないことから導かれた。
• スペクトル性は転送構成において保たれるため、ℝ⁵におけるΩ₂ = Ω₁ + [0,1)⁵に対してΛ₂ = Λ₁ + ℤ⁵がスペクトルをなす。
• この議論はすべての次元n ≥ 5に拡張可能であり、Fugledeの予想がすべてのこのような次元で成立しないことを示した。
• この結果は、高次元ユークリッド空間において、スペクトル的性質とタイリング性質が同値でないことを示しており、たとえ立方体の和集合のような単純な幾何的集合に対しても同様である。