[論文レビュー] Fukaya categories of symmetric products and bordered Heegaard-Floer homology

Denis Auroux|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 54

ひとこと要約

本稿は、リプシッツ、オズヴァース、ターレンスタインの代数 $\tau(F)$ および $A_\infty$-加群を、曲面の対称積の部分的に包み込むホイッファリー図式のカテゴリの観点から解釈することにより、境界付きヘーガード＝フローリングホモロジーのシンプレクティック枠組みを確立する。境界付き不変量が一般化されたラグランジュ対応とキルトフローリングホモロジーから生じることを示し、主な結果として、$\tau(Y)$ が $\mathrm{Sym}^g(F)$ 内のラグランジュ部分多様体のフローリング複体と予想的に同一視されること、つまり、シンプレクティック位相の観点から境界付き不変量の幾何的実現がなされることを示す。

ABSTRACT

The main goal of this paper is to discuss a symplectic interpretation of Lipshitz, Ozsvath and Thurston's bordered Heegaard-Floer homology in terms of Fukaya categories of symmetric products and Lagrangian correspondences. More specifically, we give a description of the algebra A(F) which appears in the work of Lipshitz, Ozsvath and Thurston in terms of (partially wrapped) Floer homology for product Lagrangians in the symmetric product, and outline how bordered Heegaard-Floer homology itself can conjecturally be understood in this language.

研究の動機と目的

• 対称積のホイッファリー図式を用いて、境界付きヘーガード＝フローリングホモロジーのシンプレクティック解釈を提供すること。
• 境界付きヘーガード＝フローリングホモロジーにおける代数 $\tau(F)$ を、$\mathrm{Sym}^g(F)$ 内の積ラグランジュ部分多様体の部分的に包み込むフローリングホモロジーに関連付けること。
• 3次元多様体 $Y$ に対して、$A_\infty$-加群 $\widehat{CFA}(Y)$ が、$\mathrm{Sym}^g(F)$ の拡張ホイッファリー図式に付随する一般化されたラグランジュ部分多様体 $\mathbb{T}_Y$ に対応するとの予想を提示すること。
• 対称積におけるラグランジュ対応を通じて、キルトフローリングホモロジーと整合するTQFTに類似した接続構造を確立すること。

提案手法

• 境界付き3次元多様体における基本的コボルディズムから、$\mathrm{Sym}^{g_{i-1}}(\Sigma_{i-1}) \times \mathrm{Sym}^{g_i}(\Sigma_i)$ 内のラグランジュ対応 $L_i$ を構成する。
• このような対応の系列のキルトフローリングホモロジーを用いて $\widehat{HF}(Y)$ を計算し、古典的なヘーガード＝フローリング構成を一般化する。
• 境界 $F \cup D^2$ を持つ3次元多様体 $Y$ に対して、$\mathcal{F}^\sharp(\mathrm{Sym}^g(F))$ 内の一般化されたラグランジュ部分多様体 $\mathbb{T}_Y$ を定義する。
• 非コンパクト性およびバブルの問題に対処するため、ハミルトニアンの摂動 $H'_{L_i,\tau}$ と修正された横断的条件を導入する。
• マウ、ヴェルハイム、ウッドワードの形式的枠組みを用い、曲面間のコボルディズムに対して、$\mathcal{F}^\sharp(\mathrm{Sym}^{k_1}(F_1))$ から $\mathcal{F}^\sharp(\mathrm{Sym}^{k_2}(F_2))$ への $A_\infty$-ファンクターを定義する。
• 摂動されたラグランジュ部分多様体に沿った境界を持つ $J$-正則ディスクのモジュライ空間 $\mathcal{M}_\ell^{\mathrm{hol}}$ を用いて $A_\infty$-作用素を定義し、横断性とインデックス制約のもとで高次作用素が消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付きヘーガード＝フローリングホモロジーにおける代数 $\mathcal{A}(F)$ は、$\mathrm{Sym}^g(F)$ の部分的に包み込むホイッファリー図式としてどのように実現可能か？
• RQ2 境界を持つ3次元多様体 $Y$ に対して、$A_\infty$-加群 $\widehat{CFA}(Y)$ は、$\mathrm{Sym}^g(F)$ の拡張ホイッファリー図式内の対象として幾何的に実現可能か？
• RQ3 $\mathrm{Sym}^0(D^2)$ から $\mathrm{Sym}^g(F)$ へのラグランジュ対応のキルトフローリングホモロジーは、$\widehat{HF}(Y)$ と同型であり、境界付き不変量を回復するか？
• RQ4 ハミルトニアン摂動 $H'_{L_i,\tau}$ は、シンプレクティックな設定において横断性を保証し、正則ディスクのモジュライ空間を制御するために果たす役割は何か？
• RQ5 ホイッファリー図式内の $A_\infty$-作用素は、$\widehat{CFA}(Y)$ の微分および高次積に対応するか？

主な発見

• 曲面 $F$ に付随する代数 $\mathcal{A}(F)$ は、$\mathrm{Sym}^g(F)$ の部分的に包み込むホイッファリー図式に同一視され、その対象は積ラグランジュ部分多様体に対応する。
• $A_\infty$-加群 $\widehat{CFA}(Y)$ は、一般化されたラグランジュ部分多様体 $\mathbb{T}_Y$ のフローリング複体と予想的に同型である。この $\mathbb{T}_Y$ は、ラグランジュ対応の系列から構成される。
• ラグランジュ対応の系列 $(L_1, \dots, L_r)$ のキルトフローリングホモロジーは $\widehat{HF}(Y)$ を計算し、古典的構成と一致する。
• 横断性およびインデックス制約のもとで、$F \neq \emptyset$ のとき高次 $A_\infty$-作用素 $m_\ell^F$ は消える。これにより、同型型 $m_1^{\{1\}} = \kappa$ のみが残り、これは同倫型の摂動によって生じる。
• $\ell$-重積作用素 $m_\ell^\emptyset$ は、モジュライ空間 $\mathcal{M}_\ell^{\mathrm{hol}}$ 内の剛体 $J$-正則ディスクの数を数える。境界条件は摂動されたラグランジュ部分多様体 $\phi_{\tau_i H_\rho + H'_{L_i,\tau_i}}(L_i)$ に従う。
• この構成は接続と整合する：$Y = Y_1 \cup_F Y_2$ に対して $\hom_{\mathcal{F}^\sharp(\mathrm{Sym}^g(F))}(\mathbb{T}_{Y_1}, \mathbb{T}_{-Y_2}) \simeq \widehat{CF}(Y)$ が成り立ち、TQFTに類似した構造が確認される。