[論文レビュー] Fukaya category of Landau-Ginzburg model

Huijun Fan, Wenfeng Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2018

Microtubule and mitosis dynamics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正則でタームのとれた正確な正則的ミラー関数を備えた非コンパクトケーラー多様体上に、ウィッテン方程式と開弦フローリエ理論を用いて、ランダウ＝ジンスブルグモデルのフカルヤカテゴリを構成する。ランダウ＝ジンスブルグブレーンは、ラグランジュィアン・グラスマンニアンの普遍アーベル被覆への上昇構造とピン構造を備えたレフシェツ・チムブルとして定義され、摂動されたウィッテン写像のモジュライ空間を通じてフローリエ複体に$A_\infty$-構造を確立し、ホモロジカル・ミラー・シンメトリーの文脈において長年の予想であるフカルヤカテゴリの存在を証明する。

ABSTRACT

This article introduces and provides the mathematical foundation of the open string Floer theory of Landau-Ginzburg model viaWitten equation. We introduce the concept of regular tame exact Landau-Ginzburg system on a noncompact Kaehler manifold, and define the notion of Landau-Ginzburg branes, as the objects of the Fukaya category. The study on Witten equation in our context provides the construction of the Fukaya category of Landau-Ginzburg model which was conjectured to be existed in Gaiotto-Moore-Witten's work [22] and Kapranov-Kontsevich-Soibelman's work [30]. This is the first paper in the series of studies on Landau-Ginzburg models in the contexts of the mirror symmetry and other topics.

研究の動機と目的

• ランダウ＝ジンスブルグモデルの開弦フローリエ理論をウィッテン方程式を用いて数学的に基礎づけること。
• ランダウ＝ジンスブルグブレーンを、ラグランジュィアン・グラスマンニアンの普遍被覆上の上昇構造とピン構造を備えたレフシェツ・チムブルとして定義すること。
• ランダウ＝ジンスブルグモデルのフカルヤカテゴリを、$\boldsymbol{G}$-次数付き$A_\infty$-圏として構成し、ホモロジカル・ミラー・シンメトリーにおける長年の予想を解決すること。
• 一貫したコンパクト化を伴う摂動されたウィッテン写像のモジュライ空間を通じて、$A_\infty$-関係とフローリエホモロジーを確立すること。

提案手法

• 非コンパクトケーラー多様体上に、正則的でタームのとれた正確なランダウ＝ジンスブルグ系を導入し、正則的ミラー関数$W$を備える。
• レフシェツ・チムブルを、$\operatorname{Re}W$の勾配フローの安定多様体として構成し、シンプレクティック形式$\omega$におけるラグランジュ部分多様体をなす。
• 各レフシェツ・チムブルを、上昇写像$i^\#$を用いて普遍アーベル被覆$\widetilde{\mathcal{G}}M$に上昇させ、ピン構造$P^\#$を備えることでランダウ＝ジンスブルグブレーンを定義する。
• ブレーン間のハミルトニアン・コード$S_W(L_0, L_1)$を定義し、コンパクトネスを保証するためにケーラー・ポテンシャルを摂動する（定理3.12）。
• ストリップ状の端を持つ点付き境界付き円板上に、摂動されたウィッテン方程式$\partial_{\bar{z}}u^j = \sum_{\bar{i}} h^{\bar{i}j} \partial_{\bar{i}} \overline{W} \sigma + \mu^j$を導入する。
• ラベル付き境界成分と一貫した端の選択を伴う、安定曲線のモジュライ空間のデリーニュ＝ムーディ＝スターシェフコンパクト化を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、開弦フローリエ理論を用いて、ランダウ＝ジンスブルグモデルのフカルヤカテゴリを厳密に定義できるか？
• RQ2 ランダウ＝ジンスブルグモデルの文脈において、ラグランジュ部分多様体ブレーンの正しい幾何学的・位相的構造は何か？
• RQ3 この文脈において、フローリエ複体の$A_\infty$-関係はどのように確立できるか？
• RQ4 ウィッテン方程式およびその摂動は、フカルヤカテゴリの構成において果たす役割は何か？
• RQ5 $\boldsymbol{G}$-次数と符号構造は、$A_\infty$-構造においてどのように定義され、使用されるか？

主な発見

• 本稿は、$\boldsymbol{G}$-次数付き$A_\infty$-圏として、ランダウ＝ジンスブルグモデルのフカルヤカテゴリ$\operatorname{Fuk}(M,h,W)$を構成し、ゲイオット＝モーア＝ウィッテンおよびカプラノフ＝コンツェビッチ＝ソイベルマンの予想を解決する。
• ランダウ＝ジンスブルグブレーンは、三重組$L^\# = (L, i^\#, P^\#)$として定義され、ここで$L$はレフシェツ・チムブル、$i^\#$は上昇写像、$P^\#$はラグランジュィアン・グラスマンニアンの普遍被覆上のピン構造である。
• 射の空間$\operatorname{Hom}(L_0^\#, L_1^\#)$は、$S_W(L_0, L_1)$内のハミルトニアン・コードによって生成されるフローリエ複体$CF(L_0^\#, L_1^\#)$として定義される。
• 合成写像$\mu^d$は、符号が向きと$\sigma$-写像によって決定される、モジュライ空間$\mathscr{W}^{d+1}(L,l;K)$内の剛性解の数え上げによって定義される。
• $A_\infty$-関係は、エネルギー制御、$C^0$-推定、正規交叉性を用いて検証され、$\boldsymbol{G}$-次数付きの意味で$\mu \circ \mu = 0$が保証される。
• 一次写像$\mu^1$はフローリエ微分を定義し、その結果得られるフローリエホモロジー$HF_y(A)$は、$\operatorname{Ker}(\mu^1|_{A_y}) / \operatorname{Im}(\mu^1|_{A_{y-f(1)}})$に同型である。