[論文レビュー] Fukaya category with curves of higher genus

M. V. Movshev|ArXiv.org|Nov 17, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、ホモトピー的曲線の高 genus を含むように Fukaya 圏を拡張する形式的枠組みを導入し、A-モデルトポロジカル弦理論の枠組みを一般化する。genus ≥2 の正則曲線を圏の構造に組み込むことで、シンプレクティック位相幾何学および高 genus の設定におけるミラー対称性を研究するための新しい代数的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We introduce a formalism which allows us to formulate a version of Fukaya category in presence of curves of higher genus.

研究の動機と目的

• 正則曲線の genus が1より大きいものを含めるように Fukaya 圏を一般化すること。
• A-モデルトポロジカル弦理論における高 genus リーマン面のための体系的枠組みの欠如に応えること。
• シンプレクティック幾何学における高 genus 不変量をサポートする形式的代数的構造を提供すること。
• 楕円曲線を超えたミラー対称性の広範な理解の基盤を築くこと。
• A-infinity 圏形式的枠組みを、高 genus のノード付きおよび安定曲線を含むように拡張すること。

提案手法

• 高 genus の曲線を含む Fukaya 圏における A-infinity 構造を定義するための新しい代数的形式的枠組みを導入する。
• 高 genus リーマン面への安定写像のモジュライ空間を、高次元作用素を定義するための幾何的入力として用いる。
• 量子コホノロジーおよび Gromov-Witten 理論の技術を用いて、高 genus の寄与を符号化する。
• Fukaya 圏の構成を、高 genus の射の空間を豊かにすることによって標準的なものに拡張する。
• 高 genus 曲線の退化を扱うために、モジュライ空間の Deligne-Mumford コンパクト化を組み込む。
• 高 genus 表面からの寄与を含む、通常の結合則の一般化された A-infinity 関係式を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fukaya 圏は、genus が1より大きい正則曲線に関連する不変量を含めるようにどのように拡張できるか？
• RQ2 高 genus リーマン面を含めたとき、A-infinity 圏を一般化する適切な代数的構造は何か？
• RQ3 高 genus 曲線からの量子補正を符号化する適切な高次元作用素は何か？
• RQ4 高 genus 項目は、標準的な Fukaya 圏の公理および A-infinity 関係式をどのように変更するか？
• RQ5 A-モデルトポロジカル弦理論枠組みと高 genus 曲線を統合する一貫性のある形式的枠組みを構築できるか？

主な発見

• 本論文は、高 genus の曲線を含む一般化された Fukaya 圏を定義する形式的枠組みを構築した。
• 安定写像による高 genus リーマン面への寄与を組み込む新しい A-infinity 操作のクラスを導入した。
• 射の空間に高 genus 不変量を豊かにすることによって、標準的な Fukaya 圏を拡張した。
• A-infinity 関係式は、高 genus 曲線のモジュライ空間に由来する項を含むように一般化された。
• 量子コホノロジーおよびミラー対称性の高 genus の文脈における研究のための一貫した代数的設定を提供した。
• Gromov-Witten 不変量の文脈において、シンプレクティック位相幾何学および量子代数の既存構造と整合性を持つ。