[論文レビュー] Fukushima type decomposition for semi-Dirichlet forms

Zhi-Ming Ma, Wei Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、仮定2.3という弱めの条件下で、擬正則半ディリクレ形式に対する福島型分解を確立する。関数 $ u \in D(\mathcal{E})_{\text{loc}} $ がこのような分解をもつことと、条件(S)を満たすこととは同値であり、分解は一意的である。この結果は、従来の研究を拡張し、双対形式が部分マルコフ的であることや局所的制御条件を要しないという点で、より一般化されている。

ABSTRACT

We present a Fukushima type decomposition in the setting of general quasi-regular semi-Dirichlet forms. The decomposition is then employed to give a transformation formula for martingale additive functionals. Applications of the results to some concrete examples of semi-Dirichlet forms are given at the end of the paper. We discuss also the uniqueness question about Doob-Meyer decomposition on optional sets of interval type.

研究の動機と目的

• 対称ディリクレ形式における福島型分解を、双対形式が部分マルコフ的でないことを前提としない一般の擬正則半ディリクレ形式へと拡張すること。
• 半ディリクレ設定において分解の存在の必要十分条件（条件S）を確立すること。
• 分解を用いてマルティングール加法的関数への変換公式を導出すること。
• 区間型のオプショナル集合におけるドーブ＝マイヤー分解の一意性を調査すること。
• 非局所的および非対称な場合を含む、具体的な半ディリクレ形式の例への適用可能性を検証すること。

提案手法

• 半-$ h $-変換法を用いて、擬正則半ディリクレ形式と部分マルコフ的双対形式を関連付ける。
• 局所的集合、特に $ I(\zeta) = [\![0,\zeta[\![ \cup [\![\zeta_i]\!] $ 上での分解を扱うために、局所化と貼り合わせの技法を用いる。ここで $ \zeta $ は寿命、$ \zeta_i $ は完全に非可及的部分である。
• 分解の存在を保証するための、[14]における局所的制御条件や[19]における条件$ (\mathcal{E}.5) $ よりも弱い条件である仮定2.3を導入する。
• 関数の $ \mathcal{E} $-滑らか連続版の概念を用いて、関連するマルコフ過程の標本路に沿った分解を定義する。
• 分解を用いてマルティングール加法的関数への変換公式を導出し、ディリクレ形式枠組みにおける伊藤の公式を一般化する。
• エネルギー推定と弱収束の議論を用いて、エネルギーノルムの収束を示し、特に $ t \downarrow 0 $ の極限において、交差変動項が消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬正則半ディリクレ形式の局所的定義域に属する関数に対して、福島型分解が存在するための条件は何か？
• RQ2 分解が存在する場合、それは一意的であるか。条件(S)はその一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ3 非局所的および非対称な半ディリクレ形式へと分解はどのように拡張されるか？
• RQ4 分解からマルティングール加法的関数への変換公式を導出できるか？
• RQ5 区間型のオプショナル集合におけるドーブ＝マイヤー分解と福島型分解の関係は何か？

主な発見

• 関数 $ u \in D(\mathcal{E})_{\text{loc}} $ が福島型分解をもつことと、条件(S)を満たすこととは同値であり、仮定2.3のもとで分解は一意的である。
• 分解は $ \tilde{u}(X_t) - \tilde{u}(X_0) = M^{[u]}_t + N^{[u]}_t $ の形を取り、ここで $ M^{[u]} $ は局所的平方可積分マルティングール加法的関数、$ N^{[u]} $ は $ I(\zeta) $ 上で二次変動がゼロの連続的加法的関数である。
• 仮定2.3は[14]における局所的制御条件や[19]における条件$ (\mathcal{E}.5) $ よりも厳密に弱く、分解の適用範囲を広げている。
• マルティングール加法的関数への変換公式が導出され、古典的なディリクレ形式枠組みの結果を一般化している。
• 非局所的半ディリクレ形式（ジャンプ成分を有する）および非対称な拡散・ジャンプ生成子の2つの具体的な例に応用が可能である。両例ともに、必要な条件を満たしている。
• 両例において、すべての $ u \in D(\mathcal{E})_{\text{loc}} $ に対して定理が成り立ち、特に $ |k_a(x,y)| \leq k_s(x,y) $ の不等式により、すべての $ u \in D(\mathcal{E}) $ に対しても成り立つ。