[論文レビュー] Full asymptotic expansion for Polya structures

Antoine Genitrini|arXiv (Cornell University)|May 3, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、生成関数をケイリー木関数の摂動とみなすことにより、非平面でラベルなしの木（具体的にはポリア木、ルート付き同一木、階層構造）の完全な漸近展開を導出する普遍的な手法を提示する。ワイエルシュトラスの準備定理とプアウゼュ展開を用い、次数18までの明示的な特異的および漸近的展開を計算し、大きな木のサイズにおいて相対誤差が10⁻¹⁵未満の高精度近似を実現する。

ABSTRACT

In order to obtain the full asymptotic expansion for Polya trees, i.e. rooted unlabelled and non-plane trees, Flajolet and Sedgewick observed that their specification could be seen as a slight disturbance of the functional equation satisfied by the Cayley tree function. Such an approach highlights the complicated formal expressions with some combinatorial explanation. They initiated this process in their book but they spared the technical part by only exhibiting the first- order approximation. In this paper we exhibit the university of the method and obtain the full asymptotic expansions for several varieties of trees. We then focus on three different varieties of rooted, unlabelled and non-plane trees, Polya trees, rooted identity trees and hierarchies, in order to calculate explicitly their full singular expansions and asymptotic expansions.

研究の動機と目的

• 非平面でラベルなしの木の種類の完全な漸近展開を計算するための汎用的で体系的なアプローチの開発。
• フラジョレットとセッドウィックの一次近似を、解析的組合せ論を用いて完全な特異的および漸近的展開へと拡張すること。
• ポリア木、ルート付き同一木、階層構造の3つの主要な木クラスの明示的係数の計算。
• 次数8の近似を用いて、木のサイズが500以上の場合に相対誤差が10⁻¹⁵未満であることを示すことにより、手法の精度を実証すること。
• シリーズ・パラレルネットワーク や系統系統木などの他の組合せ的構造へも適用可能なフレームワークの確立。

提案手法

• 生成関数を T(z) = ζ(z) exp(T(z)) とモデル化し、ζ(z) を摂動関数とみなしてケイリー木関数 C(z) = z exp(C(z)) の摂動とみなす。
• ワイエルシュトラスの準備定理を適用し、関数方程式を解析して、z = 1/e における主要特異点の周囲での T(z) の完全なプアウゼュ（特異）展開を導出する。
• ファーディ・ブルーノの公式とベル多項式を用いて、ケイリー関数 C(z) のプアウゼュ展開の係数を計算する。
• ζ(z) の主要特異点における微分を組み込むことで、C(z) の特異展開を T(z) へ一般化する。
• トランスファー定理を用いてプアウゼュ展開を係数の漸近的性質に翻訳し、係数 T_n の完全な漸近展開を導出する。
• 各木クラスについて次数18まで τ_i を数値的に計算・比較することで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一次近似を超える完全な漸近展開を計算する普遍的な手法を開発できるか？
• RQ2 ポリア木、ルート付き同一木、階層構造の漸近展開の係数はどのように振る舞い、どのようなパターンが現れるか？
• RQ3 ζ(z) によるケイリー関数の摂動が、特異的および漸近的展開の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 高次近似（例：次数8）は、一次近似に比べて大きな木のサイズにおいてどの程度精度が向上するか？
• RQ5 このフレームワークは、非ルート付き木やシリーズ・パラレルネットワーク、系統系統木などの他の組合せ的構造へ拡張可能か？

主な発見

• ケイリー木関数 C(z) の完全なプアウゼュ展開が明示的に導出され、その係数はベル多項式と (1 - ez)^(n/2) の累乗を含む。
• ポリア木の場合、8次近似により木のサイズが500以上の場合に相対誤差が10⁻¹⁵未満に低下する。
• ポリア木および階層構造の係数 τ_i は、次数 n を超えるすべての切り捨てに対して下界で抑えられるが、ルート付き同一木の場合は上界で抑えられる。
• 手法は20桁の精度に達し、計算制約のため、大きな木では有効な近似次数が8に制限される。
• T(z) の完全な展開が得られれば、P(z) = T(z) - ½T²(z) + ½T(z²) という関数方程式により、非ルート付き木へも拡張可能である。
• シリーズ・パラレルネットワーク（OEIS A058385–A058387）や系統系統木（OEIS A000311）などの他の構造に対しても、一般に適用可能である。