[論文レビュー] Full asymptotic expansion of the heat trace for non-self-adjoint elliptic cone operators

Juan B. Gil|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2000

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、滑らかでない自己随伴でない楕円型コーン作用素が滑らかでない多様体上に作用する場合の熱跡の完全な漸近展開を確立する。パラメータに依存する擬微分作用素の計算を導入し、$(A - u)^{-1}$ の逆作用素の構成を通じて、著者は $t \to 0^+$ のとき、熱跡 $\tr e^{-tA}$ が完全な漸近展開を持つことを証明する。これは古典的結果を非自己随伴で滑らかでない状況に拡張するものである。

ABSTRACT

The operator $e^{-tA}$ and its trace are investigated in the case when $A$ is a non-self-adjoint elliptic differential operator on a manifold with conical singularities. Under a certain spectral condition (parameter-ellipticity) we obtain a full asymptotic expansion in $t$ of the heat trace as $t o 0^+$. As in the smooth compact case, the problem is reduced to the investigation of the resolvent $(A-λ)^{-1}$. The main step will consist in approximating this operator family by a parametrix to $A-λ$ using a suitable parameter-dependent calculus.

研究の動機と目的

• 滑らかでない多様体上の非自己随伴な楕円型コーン作用素に対して、古典的な熱跡の漸近展開を拡張すること。
• パラメータに依存する擬微分作用素の技法を用いて、このような作用素のリゾルベント $(A - \nu)^{-1}$ の厳密な枠組みを確立すること。
• 複素平面上の領域におけるパラメータに依存する正則性を用いて、非自己随伴状況における正則性の概念を一般化すること。
• 適切な作用素値記号計算の中で $A - \nu$ のパラメトリック近似を構成し、熱跡の漸近解析を可能にすること。
• 熱作用素 $e^{-tA}$ がグリーンコーン代数に属することを証明し、漸近展開の有効性を保証すること。

提案手法

• コーン作用素に特化したパラメータに依存する擬微分作用素の計算を導入し、スペクトルパラメータ $\nu$ を非等方的に扱う。
• アグモンの条件を一般化するために、非自己随伴作用素のためのパラメータ正則性を、領域 $\nu \notin \text{sector}(\nu)$ を用いて定義する。
• 重み付きソボレフ空間上での、ねじれ同次記号とグリーン作用素値記号を用いた、$A - \nu$ のパラメトリック近似を構成する。
• グリューブとジーリーの計算の修正版を用いて、$|\nu| \to \infty$ のときの局所的記号の漸近展開を達成する。
• ダンフォード積分を用いて、リゾルベントから ${ e^{-tA} }_{t>0}$ の半群を定義し、それがコーン代数に属することを保証する。
• リゾルベントの推定とパラメトリック近似の構成を用いて、$t \to 0^+$ のときの $\tr e^{-tA}$ の完全な漸近展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己随伴な楕円型コーン作用素に対して、熱跡の完全な漸近展開を確立することは可能か？
• RQ2 パラメータ正則性はどのように定義され、リゾルベント $(A - \nu)^{-1}$ の可逆性（重み付きソボレフ空間上）を保証するために利用されるか？
• RQ3 ねじれ同次記号とグリーン作用素値記号は、$A - \nu$ のパラメトリック近似を構成する際に果たす役割は何か？
• RQ4 リゾルベントの構造は、$t = 0$ の近傍における熱跡の漸近的挙動をどの程度決定づけるか？
• RQ5 半群 $e^{-tA}$ はどのように厳密に定義され、それがコーン代数に属することを示すことができるか？これにより漸近展開の有効性が保証される。

主な発見

• 熱跡 $\tr e^{-tA}$ は $t \to 0^+$ のとき完全な漸近展開を持つ。その係数は作用素 $A$ のスペクトル的・幾何的データによって決定される。
• $A$ が領域 $\nu \in \Lambda$ においてパラメータ正則であるとき、かつそのときみたる、リゾルベント $(A - \nu)^{-1}$ は重み付きソボレフ空間上で可逆である。ここで $\arg \nu \in [\varphi, 2\pi - \varphi]$ である。
• $A - \nu$ のパラメトリック近似はパラメータに依存する計算の中で構成され、誤差項は $\mathrm{R}^{-\infty}_{\mathrm{G}}(\Lambda, (\gamma,\delta))$ に属する。これにより $\nu$ における急速な減衰が保証される。
• 熱作用素 $e^{-tA}$ はグリーンコーン代数に属する。これにより漸近展開の存在と構造が保証される。
• リゾルベント記号の主要部は、次数 $(\mu, d)$ のねじれ同次的である。また、記号の完全な展開はメリン擬微分の枠組みと整合的である。
• 熱跡の漸近展開は、リゾルベントとグリーン作用素のねじれ同次的主記号によって完全に決定される。