[論文レビュー] Full discretisation of semi-linear stochastic wave equations driven by multiplicative noise

Rikard Anton, David Cohen+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、乗法的ノイズを伴う半線形確率波動方程式に対して、完全離散型の数値スキームを提示する。空間方向離散化には線形有限要素法を、時間方向積分には確率三角法（STM）を用いる。主な貢献は、空間メッシュサイズに依存しない平均二乗収束誤差評価であり、また、期待エネルギーにおける線形ドリフト（トレース公式）を保存する点である。これは、Euler-Maruyamaなどの標準的手法よりも、長時間にわたるエネルギー挙動において優れている。

ABSTRACT

A fully discrete approximation of the semi-linear stochastic wave equation driven by multiplicative noise is presented. A standard linear finite element approximation is used in space and a stochastic trigonometric method for the temporal approximation. This explicit time integrator allows for mean-square error bounds independent of the space discretisation and thus do not suffer from a step size restriction as in the often used Störmer-Verlet-leap-frog scheme. Furthermore, it satisfies an almost trace formula (i.e., a linear drift of the expected value of the energy of the problem). Numerical experiments are presented and confirm the theoretical results.

研究の動機と目的

• 乗法的ノイズによって駆動される半線形確率波動方程式の完全離散型数値スキームの開発を目的とする。
• 空間離散化に依存しない平均二乗意味での強収束を達成し、誤差評価を提供すること。
• 期待エネルギーにおける線形ドリフト（トレース公式）を含む幾何的性質を数値解が保存すること。
• Störmer-Verlet-leap-frogなどの従来手法に内在するステップサイズ制限を克服すること。

提案手法

• 有界な凸領域（多角形境界を有する）上での標準的な線形有限要素法を用いて空間離散化を実施する。
• 時間積分には、確率波動方程式に特化した明示的時間積分スキームである確率三角法（STM）を採用する。
• 空間半離散化により得られる半離散系に対してSTMを適用し、安定性と精度を確保する。
• ヒルベルト空間におけるエネルギー推定と補間技法を用いて解析を行い、特に重み付きソボレフノルムを用いる。
• 正確解、有限要素半離散解、完全離散解の各々に対してトレース公式を導出し、期待エネルギーにおける線形ドリフトを示す。
• 数値実験により理論的収束率とトレース公式の保存性が、さまざまな時間刻みとメッシュサイズで確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的ノイズを伴う半線形確率波動方程式に対して、空間メッシュサイズに依存しない平均二乗収束を達成する完全離散スキームを構築可能か？
• RQ2 提案された確率三角法が、正確解のトレース公式（期待エネルギーにおける線形ドリフト）を保存するか？
• RQ3 長時間シミュレーションにおけるエネルギー変化挙動において、STMはEuler-Maruyama型やCrank-Nicolson-Maruyamaなどの古典的手法に比べてどのように性能を発揮するか？
• RQ4 完全離散スキームの平均二乗収束率は何か？また、空間および時間離散化パラメータにどのように依存するか？
• RQ5 大きな時間刻みでも、エネルギードリフト挙動などの幾何的性質を、本手法は保持できるか？

主な発見

• 提案された完全離散スキームは、空間メッシュサイズに依存しない平均二乗収束を達成しており、Störmer-Verlet-leap-frogスキームに見られるステップサイズ制限を回避する。
• 確率三角法はトレース公式を保存し、数値解の期待エネルギーが正確解と整合する線形ドリフトを示す。
• 数値実験により理論的収束率が確認され、観測された勾配が時間および空間方向の理論的収束次数と一致する。
• 長時間シミュレーションにおいて、STMはEuler-Maruyama型スキームを上回り、期待エネルギーの線形ドリフトを正しく捉えている。一方、Eulerスキームは誤ったエネルギー増大を示す。
• 大きな時間刻み（例：k=0.1）および長い時間区間（例：[0,250]）においても、STMは期待エネルギーの時間発展において優れた挙動を示し、そのロバスト性が確認された。
• 数値実験におけるモンテカルロ誤差は微小（例：<0.01）であり、観測された収束性およびトレース公式の保存性の信頼性が裏付けられた。