[論文レビュー] Full Eigenstate Thermalization via Free Cumulants in Quantum Lattice Systems

Silvia Pappalardi, Felix Fritzsch+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2023

Quantum many-body systems参考文献 57被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、 chaotic many-body systems における一般的な ETH を高次相関を分解して数値的に検証し、四点相関が自由コムラントの第四成分に非自明な周波数構造を持ってエンコードされていることを示す。

ABSTRACT

The Eigenstate-Thermalization-Hypothesis (ETH) has been established as the general framework to understand quantum statistical mechanics. Only recently has the attention been paid to so-called full ETH, which accounts for higher-order correlations among matrix elements, and that can be rationalized theoretically using the language of Free Probability. In this work, we perform the first numerical investigation of the full ETH in physical many-body systems with local interactions by testing the decomposition of higher-order correlators into thermal free cumulants for local operators. We perform exact diagonalization on two classes of local non-integrable (chaotic) quantum many-body systems: spin chain Hamiltonians and Floquet brickwork unitary circuits. We show that the dynamics of four-time correlation functions are encoded in fourth-order free cumulants, as predicted by ETH. Their dependence on frequency encodes the physical properties of local many-body systems and distinguishes them from structureless, rotationally invariant ensembles of random matrices.

研究の動機と目的

• 局所的で非可積分な量子多体系における高次相関の一般的な Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH) の動機付けと検証。
• Free Probability 理論が予測するように、四点相関が自由コムラントに分解されることを示す。
• 交差分割は指数関数的に抑制され、非交差分割は因子化して、時間領域と周波数領域の ETH 構造を再現する。
• 周波数分解された自由コムラントを通じて、物理的多体ダイナミクスを構造なしのランダムマトリクスと区別する。
• 非可積分格子モデルと Floquet 回路における普遍性と高次相関の可能性を探る。

提案手法

• 2つの chaotic quantum many-body 系、非可積分の Ising スピン鎖と Floquet ブリックワーク回路に対して厳密対角化を行う。
• 自由確率論の枠組みの中で、四点時間相関を自由コムラントを用いて表現する。
• ETH の予測を検証するため、時間領域と周波数領域の交差分割の指数抑制と非交差分割の因子化を確認する。
• 第四自由コムラント k4 とそのフーリエ変換を評価して、周波数分解された ETH 関数 tilde{k4}(ω1, ω2, ω3) を得る。
• 回転対称不変なランダムマトリクスと結果を比較し、自由コムラントの非平坦で系に特有の周波数依存性を強調する。
• k2 および k4 の分解を用いて <A(t) A A(t) A> のような OTOC を分析し、長時間ダイナミクスを定量化する。

Figure 1: Multi-time correlation functions and ETH free-cumulants in chaotic systems. The full dynamics of $\langle A(t)AA(t)A\rangle$ (orange) is contrasted with the gaussian contribution $2[k_{2}(t)]^{2}$ (blue), the free cumulant $k_{4}(t)$ (green) and the sum of the two (dashed), cf. Eq.( 4 ). (

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所相互作用を有する有限サイズ chaotic quantum lattice systems において、自由コムラントを介して表現される一般的な ETH は成り立つか。
• RQ2 ETH が予測するように、交差図は指数関数的に抑制され、時間および周波数領域で非交差図は因子化するか。
• RQ3 物理系とランダムマトリクス系における第四自由コムラント tilde{k4}(ω1, ω2, ω3) の周波数依存性はどうなるか。
• RQ4 四点相関（OTO C を含む）は k2 および k4 の項で正確に描述できるか、二点関数を超える高次相関について何を意味するか。
• RQ5 Floquet 回路とハミルトニアンスピン鎖は、k4 ダイナミクスにおいて同様の ETH 兆候と潜在的な普遍性を示すか。

主な発見

• 交差分割の寄与は系サイズとともに指数関数的に抑制され、ETH の予測を支持する。
• 非交差（カクタス）寄与は因子化し、ratio cac(ω1, ω2) は L が大きくなると tilde{k2}(ω1) tilde{k2}(ω2) の積に近づく。
• 第四自由コムラント k4(t) は二点相関が減衰した後の残りの OTOC ダイナミクスを捕捉し、非自明な高次相関を示す。
• 周波数分解された tilde{k4}(ω1, ω2, ω3) は Ising ハミルトニアン系（大周波数で減衰）と Floquet 回路（2π 内で周期的だが非自明なダイナミクス）で非自明な構造を示し、ETH を平坦なランダムマトリクスの挙動から区別する。
• 自由コムラントを用いた ETH フレームワークは、Ising および回路モデルの両方で四点相関全体を <A(t) A A(t) A> ≈ 2[k2(t)]^2 + k4(t) として正確に再現する。
• 結果は二つのモデルクラス（ハミルトニアンと Floquet）を横断的に持続し、構造なしの回転対称なランダムマトリクスとは異なる。

Figure 2: High-order ETH conditions ( 2 )-( 3 ) as a function of the system size $L$ in the Ising model (a) and the Unitary Circuit (c). We denote with “crossing” Eq.( 2 ), while $r$ corresponds to Eq.( 14 ). (b) Ising model factorization: the non-crossing contribution $\text{cac}(\omega_{1},\omega_