[論文レビュー] Full extensions and approximate unitary equivalences

Huaxin Lin|ArXiv.org|Jan 19, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、単位的分離可能なアーベルでないC*-代数Aと特定の無限大性質を有するC*-代数Cに対して、AからCへの2つのフル単準同型が近似的にユニタリ同値であることと、それらがKL群KL(A,C)において同じ要素を表すこととは同値であることを確立する。非単位的σ-単位的C*-代数Bで、M(B)/Bが特定の条件を満たすものに対しては、Aによるフル本質的拡張が近似的にユニタリ同値であることと、それらがKL(A,M(B)/B)において同じKL類を誘導することとは同値であり、Aがユニバーサル係数定理を満たすとき、このような類の集合はKL(A,M(B)/B)に同型な群をなす。

ABSTRACT

Let $A$ be a unital separable amenable \CA and $C$ be a unital \CA with certain infinite property. We show that two full monomorphisms $h_1, h_2: A o C$ are approximately unitarily equivalent if and only if $[h_1]=[h_2]$ in $KL(A,C).$ Let $B$ be a non-unital but $σ$-unital \CA for which $M(B)/B$ has the certain infinite property. We prove that two full essential extensions are approximately unitarily equivalent if and only if they induce the same element in $KL(A, M(B)/B).$ The set of approximately unitarily equivalence classes of full essential extensions forms a group. If $A$ satisfies the Universal Coefficient Theorem, it is can be identified with $KL(A, M(B)/B).$

研究の動機と目的

• C*-代数のフル単準同型および本質的拡張を近似的なユニタリ同値性の下で分類すること。
• 単位的分離可能なアーベルでないC*-代数Aとσ-単位的C*-代数Bに対して、KL群KL(A,M(B)/B)がフル本質的拡張をいつ分類するかを特定すること。
• ユニバーサル係数定理を満たすとき、フル本質的拡張の近似的なユニタリ同値類の群がKL(A,M(B)/B)に同型であることを示すこと。
• KK1理論がユニタリ同値性を検出できない非安定C*-代数へと分類結果を拡張すること。

提案手法

• 本質的拡張をモノモルフィズムτ: A → M(B)/Bとして表すために、バスビー不変量の使用。
• K理論と拡張類を関連付けるために、ユニバーサル係数定理（UCT）の適用。
• M(B)/Bにおける性質(P1)、(P2)、(P3)の使用により、フル単準同型の存在と近似的なユニタリ同値性を保証。
• ユニタリ同値性を特徴付けるために、'純粋に大きな'拡張と'近似的に吸収的'な拡張の概念を利用。
• コロナ代数における超冪技法と可換子解析を用いて、近似的なユニタリ同値性を制御。
• AをO2に埋め込み、M(B)/Bにおける安定同値を用いて、所望のKL類を持つフル単準同型を構成する構成的証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位的分離可能なアーベルでないC*-代数Aと無限大性質を有する単位的C*-代数Cに対して、2つのフル単準同型h1, h2: A → Cが近似的にユニタリ同値であるのはいつか？
• RQ2 Bにどのような条件が課わられると、Aによるフル本質的拡張の近似的なユニタリ同値類の群がKL(A,M(B)/B)に同型になるか？
• RQ3 Bが非安定的かつσ-単位的であっても、KK1(A,B)がそれを検出できない場合に、KL群KL(A,M(B)/B)がフル本質的拡張を分類できるか？
• RQ4 すべてのフル本質的拡張が近似的に吸収的であるか？また、それが近似的なユニタリ同値性を示すのはいつか？
• RQ5 M(B)/Bに(P1)、(P2)、(P3)の性質が成り立つとき、同じKL類を誘導するフル拡張が近似的にユニタリ同値であることを保証するのはどの程度か？

主な発見

• Aが単位的、分離可能、アーベルでなく、Cが所定の無限大性質を有するとき、2つのフル単準同型h1, h2: A → Cが近似的にユニタリ同値であることと、[h1] = [h2]がKL(A,C)において成り立つことは同値である。
• M(B)/Bが(P1)、(P2)、(P3)を満たす非単位的σ-単位的C*-代数Bに対して、2つのフル本質的拡張が近似的にユニタリ同値であることと、それらがKL(A,M(B)/B)において同じ要素を誘導することは同値である。
• フル本質的拡張の近似的なユニタリ同値類の集合は群をなし、Aがユニバーサル係数定理を満たすとき、それはKL(A,M(B)/B)に同型である。
• Bが安定的であるとき、KK1(A,B)はフル本質的拡張のユニタリ同値類を分類するが、一般に非安定的Bではこれが成り立たない。
• M(B)/Bが(P1)、(P2)、(P3)を満たす非安定的かつ非単位的σ-単位的C*-代数Bが存在し、それによりKL理論による同一の分類が可能である。
• フル拡張は純粋に大きくない場合でも近似的に吸収的であることがあるため、近似的な吸収性はエリオットとクセルスキーの意味での純粋性よりも厳密に弱い条件であることが示された。