[論文レビュー] Full linear Phan-Thien--Tanner fluid model: Exact analytical solutions for steady, start-up, and cessation regimes of shear and extensional flows

D. Shogin|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2021

Rheology and Fluid Dynamics Studies参考文献 38被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、全線形ファン=ティエン＝タンナー（LPTT）流体の全材料関数（定常、起動、停止）について、剪切および3つの拡張流れ（平面、一軸、二軸）における最初で唯一の完全な明示的解析解を提示する。4つのモデルパラメータを1つの次元なしパラメータに縮約する新規なスケーリング手順を用いて、長年の拡張粘度曲線の曖昧さを解消するコンactで実数値の式を得た。これにより、一時的流れにおける応力の過渡的挙動、特に振動挙動、過渡ピーク（オーバーシュート）およびアンダーシュートを完全に特徴づけた。

ABSTRACT

Exact, fully explicit, purely real analytical expressions for the material functions describing steady, startup, and cessation regimes of shear flows and of planar, uniaxial, and biaxial extensional flows of full linear Phan-Thien--Tanner fluids are obtained. These expressions, which have no analogs in the literature, are formulated in compact, beautiful forms, partially due to the unique scaling procedure reducing the number of the model parameters from four to one. The properties of the material functions are investigated in detail. For steady extensional flows, the possible shapes of the extensional viscosity curves are described and the conditions for these shapes to occur are determined. For startup flows, it is found when exactly the stress dynamics is oscillatory, and, in this case, a detailed characterization of oscillations is given, which includes expressions for the position and magnitude of stress overshoots and undershoots.

研究の動機と目的

• 全標準的 rheometric 流れにおいて、全線形ファン=ティエン＝タンナー（LPTT）流体のすべての材料関数について、正確で完全に明示的な解析的式を提供すること。
• 従来、複数の解が許容され、暗黙的または近似式に依存する必要があったLPTTモデルの拡張粘度曲線における長年の曖昧さを解消すること。
• 起動および停止流れにおける一時的応力ダイナミクス（振動挙動、オーバーシュート、アンダーシュートを含む）を完全に特徴づけること。これは、これまで定性的にしか調べられてこなかった。
• 簡略化されたLPTTモデルに関する従来の結果を統合・一般化し、物理的に妥当なすべてのパラメータ値に対して有効な、完全でパラメータが完全に含まれた解析的フレームワークを構築すること。

提案手法

• 4つのLPTTモデルパラメータ（η₀, λ, ε, ξ）を1つの次元なしパラメータに縮約する新規なスケーリング手順を用いて、定常および一時的剪切および拡張流れの正確な解析的解を導出する。
• 次元なし変数を用いて、定常流れにおける応力-ひずみ率関係および一時的流れにおける応力の時間発展を記述する支配方程式を定式化する。
• 単調関数の逆関数化および3次および4次方程式の解法を含む高度な解析的手法を用いて、得られた非線形微分方程式系を解く。
• 応力応答が三角関数的（振動的）、双曲的、または指数的形を取るかどうかを決定するパラメータ領域（判別式および符号解析を用いて）を同定する。
• 起動流れにおける応力アンダーシュートの解析から生じる超越方程式を解くために、Lambert W 関数を用いる。
• Wolfram Mathematica を用いた数値的検証により、すべての解析的結果を検証し、補足資料として完全な検証コードを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全線形PTT流体が定常平面、一軸、および二軸拡張流れにさらされた場合、拡張粘度および法線応力差の正確で完全に明示的な解析的式は何か？
• RQ2 起動および停止流れにおける応力応答が振動的挙動を示す条件は何か？また、応力オーバーシュートおよびアンダーシュートの正確な位置と大きさは何か？
• RQ3 拡張粘度曲線の形状はモデルパラメータにどのように依存するか？また、異なる曲線形状（単調、最大値、最小値を有する）を分ける正確なパラメータ閾値は何か？
• RQ4 特に振動的応力応答に対して、近似や数値解法に依存せずに、全LPTTモデルの過渡的挙動を解析的に特徴づけることは可能か？
• RQ5 アフィニティパラメータξは応力発展の性質をどのように決定するのか？また、応力増大および緩和における振動の発生にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿では、全線形PTT流体の剪切および3つの拡張流れにおけるすべての材料関数について、暗黙的または曖昧な表現を一切含まず、完全に明示的で純粋な実数値の解析的式を初めて導出した。
• 定常拡張流れにおいて、拡張粘度曲線が取り得るすべての形状（単調、最大値を有する非単調、最小値を有する）を特定し、それぞれの形状が現れる正確なパラメータ条件を提供した。
• 起動剪切および拡張流れにおいて、応力ダイナミクスが振動的である条件を正確に特定し、応力オーバーシュートおよびアンダーシュートの時間および大きさを閉形式で与えた。
• 解析により、応力アンダーシュートは剪切および平面拡張流れでのみ発生し、その深さはLambert W 関数を含む方程式により定量的に特徴づけられることを明らかにした。
• 従来の拡張粘度の定式化における曖昧さを解消し、各パラメータセットに対して物理的に意味のある解が唯一つ存在することを示し、その正確な解析的形を提供した。
• 著者らは、拡張流れの支配方程式における実数解の数が、延長性パラメータεおよび流れの種別に強く依存することを示した。特に、二軸拡張流れではε = 1/3が臨界閾値であることを特定した。