[論文レビュー] Full result for the three-loop static quark potential

Alexander V. Smirnov, Vladimir A. Smirnov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2010

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、QCDにおける静的クォークポテンシャルの完全な解析的三ループ補正を提示し、ポテンシャルの有限部に必要なすべてのマスターインテグラルを計算する。主な結果は、$ n_l^3 $ 項までを含む三ループ係数 $ a_3 $ の完全な解析的表現であり、最も複雑なマスターインテグラルの明示的結果が得られているが、3つの $ \varepsilon^1 $ 項については数値的に未知のままである。

ABSTRACT

The three-loop corrections to the potential of two heavy quarks are computed. Analytic results for the most complicated master integrals are presented.

研究の動機と目的

• QCDにおける静的クォークポテンシャルの完全な三ループ補正を計算すること。これは、重いハイパーフォトン物理学における高精度計算にとって不可欠である。
• 既存の発散部に関する進展にもかかわらず、未だ不完全であった三ループポテンシャルの有限部を解明すること。
• 高度な多重ループフェ Feynman 図の簡約化およびメリン・バーンズ法を用いた、最も困難なマスターインテグラルの解析的評価。
• 数値的および解析的信頼性を保証するためのクロスチェックと自動化された計算パイプラインの提供。
• 色構造およびリーマンゼータ関数の値を用いた $ a_3 $ の明示的解析的表現の提供により、高精度の素粒子物理学的現象論への応用を可能にする。

提案手法

• QGRAFを用いてフェ Feynman 図を生成し、q2e および exp を介して TRACE 減少および代数的簡略化のための FORM 形式に変換する。
• FIREパッケージを用いてマスターインテグラルへの還元を実施し、フェ Feynman 系で関連する41個のマスターインテグラルに注目する。
• マスターインテグラルはメリン・バーンズ技法を用いて評価され、大多数のインテグラルについて $ \varepsilon^2 $ まで解析的結果が得られたが、3つの $ \varepsilon^1 $ 項を除く。
• 数値的妥当性確認のため、セクタ分解を実装する FIESTA プログラムを用いたクロスチェックを実施。
• ポテンシャルは運動量空間で $ V(|\vec{q}|) = -\frac{4\pi C_F \alpha_s}{\vec{q}^2} \left[1 + \cdots + \left(\frac{\alpha_s}{4\pi}\right)^3 (a_3 + \cdots) \right] $ とパラメータライズされ、$ a_3 $ は $ n_l $ の累乗ごとに分解される。
• 特に非平面図形、特に $ I_{18} $ に特別な注意が払われ、収束性の向上と解析的評価の可能性を高めるために分子変形が適用された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QCDにおける静的クォークポテンシャルの三ループ補正の完全な解析的表現は何か？
• RQ2 三ループポテンシャルの有限部を支配するマスターインテグラルは何か？ それらは解析的に評価可能か？
• RQ3 色構造 $ C_A, C_F, T_F $ および対称テンソル縮約 $ d_F^{abcd}d_F^{abcd}/N_A $ は、三ループ係数 $ a_3 $ にどのように寄与するか？
• RQ4 マスターインテグラルの $ \varepsilon $-展開がポテンシャルの有限部を抽出する上で果たす役割は何か？
• RQ5 最も複雑なマスターインテグラル、例えば $ I_{18} $ は解析的に評価可能か？ その明示的表現は何か？

主な発見

• 三ループ係数 $ a_3 $ は解析的に完全に決定されており、$ a_3^{(3)} = -\left(\frac{20}{9}\right)^3 T_F^3 $、$ a_3^{(2)} $ は $ C_A T_F^2 $ および $ C_F T_F^2 $ で表され、$ a_3^{(1)} $ には $ \zeta(3) $、$ \zeta(5) $、および $ d_F^{abcd}d_F^{abcd}/N_A $ 項が含まれる。
• 最も複雑なマスターインテグラル $ I_{18} $ の有限部は解析的に既知であり、$ F^{(np)}_{1,\ldots,1,-2,1,0} $ として表されるが、その $ \varepsilon^1 $ 項は未だ未知である。
• 最も複雑な16個のマスターインテグラルについて、$ \varepsilon^2 $ まで明示的な $ \varepsilon $-展開が提供されており、$ \pi^2, \pi^4, \pi^6, \zeta(3), \zeta(5), \text{Li}_4(1/2), \log^2(2), \log^4(2) $ を含む結果が得られている。
• $ I_1 $ から $ I_{16} $ の結果は $ v^2 $、$ Q^2 $、および $ \varepsilon $ を用いて表され、リーマンゼータ関数や対数項を含む明示的係数が与えられている。
• $ I_{11} $ および $ I_{16} $ の $ \varepsilon $-展開は $ \varepsilon^0 $ までしか知られておらず、$ \varepsilon^1 $ 項はまだ解析的に計算されていない。
• FIESTAによるセクタ分解を用いたクロスチェックにより、解析的結果の信頼性が確認された。