[論文レビュー] Fully-Discrete Finite Element Approximations for a fourth-order linear stochastic parabolic equation with additive space-time white noise: II. 2D and 3D Case

Georgios T. Kossioris, Georgios E. Zouraris|ArXiv.org|Jun 9, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元における空間-時間ホワイトノイズを伴う4階線形確率放物型方程式の完全離散有限要素近似を提示する。空間に$C^1$-連続な有限要素を、時間に後退オイラー法を用いることで、ノイズおよび解の正則性に関する仮定の下で、強い事前誤差推定を確立し、空間においては$ mathcal{O}(h^{\nu(r,d)-\epsilon})$、時間においては$ mathcal{O}(\Delta\tau^{\frac{4-d}{8}-\epsilon})$の収束速度を証明する。

ABSTRACT

We consider an initial- and Dirichlet boundary- value problem for a fourth-order linear stochastic parabolic equation, in two or three space dimensions, forced by an additive space-time white noise. Discretizing the space-time white noise a modeling error is introduced and a regularized fourth-order linear stochastic parabolic problem is obtained. Fully-discrete approximations to the solution of the regularized problem are constructed by using, for discretization in space, a standard Galerkin finite element method based on C1 piecewise polynomials, and, for time-stepping, the Backward Euler method. We derive strong a priori estimates for the modeling error and for the approximation error to the solution of the regularized problem.

研究の動機と目的

• 空間-時間ホワイトノイズを駆動源とする2次元および3次元の4階確率放物型方程式に対する完全離散有限要素近似の構築と解析を行う。
• ノイズが時間および空間でホワイトである場合に生じる正則性の欠如に対処し、正則化を必要とする挑戦に取り組む。
• 正則化によるモデル化誤差と完全離散近似誤差の両方に対する強い事前誤差推定を導出する。
• $C^1$-連続有限要素と後退オイラー時間積分法を用いた完全離散スキームの$L^2(\Omega; L^2(D))$ノルムにおける収束速度を確立する。
• メッシュサイズ$h$および時間刻み$\Delta\tau$に応じた収束挙動を、空間次元および多項式次数$r$を考慮して定量化する。

提案手法

• 空間-時間ホワイトノイズを空間-時間有限要素上での区分定数近似により正則化し、正則化された確率的問題の系列を導出する。
• 空間領域を、次数$r \in \{2,3,4\}$の区分多項式に基づく$C^1$-連続有限要素空間で離散化し、4階問題に必要な$H^2$-連続性を保証する。
• 時間積分に後退オイラー法を適用し、空間でのガラーキン射影と組み合わせた完全離散スキームを構築する。
• 解の確率的畳み込み表現をグリーン関数$G(t;x,y)$を用いて表現し、積分形式を導出し、誤差推定に伊藤等長性を適用する。
• 離散楕円型作用素$\Lambda_h$のスペクトル解析を用い、ヒルベルト＝シュミットノルム推定と固有関数展開を活用して誤差バインディングを確立する。
• 確定的誤差バインディング（逆楕円型作用素の誤差）と確率的推定（伊藤等長性およびコーシー＝シュワルツ不等式）を組み合わせて事前推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元および3次元における空間-時間ホワイトノイズを伴う4階確率放物型方程式に対する完全離散有限要素近似の収束速度は何か？
• RQ2 空間-時間ホワイトノイズの正則化によって生じるモデル化誤差は、数値解全体の精度にどのように影響するか？
• RQ3 $C^1$-連続有限要素と後退オイラー時間離散化を用いた場合、誤差が空間メッシュサイズ$h$および時間刻み$\Delta\tau$にどのように依存するか？
• RQ4 収束速度は空間次元$d$および有限要素空間の多項式次数$r$にどのように依存するか？
• RQ5 $L^2(\Omega; L^2(D))$ノルムにおける完全離散スキームに対して、最小限の正則性仮定のもとで強い事前誤差推定を導出できるか？

主な発見

• 空間-時間ホワイトノイズの正則化に起因するモデル化誤差は、任意の$\epsilon \in (0, \nu(r,d)]$に対して$\mathcal{O}(\epsilon^{-1/2} h^{\nu(r,d)-\epsilon})$で有界であり、$\nu(r,d)$は$r$および$d$に依存する。
• 完全離散近似誤差は、$\max_{0 \leq m \leq M} \mathbb{E}[\|\widehat{U}_h^m - \widehat{u}(\tau_m, \cdot)\|_{L^2(D)}^2]^{1/2} \leq C \left[ \widetilde{\omega}(\Delta\tau, \epsilon_1) \Delta\tau^{\frac{4-d}{8}-\epsilon_1} + \epsilon_2^{-1/2} h^{\nu(r,d)-\epsilon_2} \right]$を満たす。ここで$\widetilde{\omega}(\Delta\tau, \epsilon_1) = \epsilon_1^{-1/2} + (\Delta\tau)^{\epsilon_1} (p_d(\Delta\tau^{1/4}))^{1/2}$である。
• $d=2$では時間収束速度が$\mathcal{O}(\Delta\tau^{3/8 - \epsilon_1})$、$d=3$では$\mathcal{O}(\Delta\tau^{1/4 - \epsilon_1})$であり、次元が高くなると特異性が増すことが反映されている。
• 空間収束速度は$\mathcal{O}(h^{\nu(r,d)-\epsilon_2})$で、(5.13)に定義される$\nu(r,d)$に従い、多項式次数$r$が高くなるほど改善される。
• 定数$C$が$T$に依存しないため、最終時刻$T$に対して誤差推定はロバストである。
• 解析により、正則化問題に対する後退オイラー完全離散スキームが、離散$L^\infty_t(L^2_P(L^2_x))$ノルムで収束することが確認された。