[論文レビュー] Fully Dynamic Approximate Maximum Matching and Minimum Vertex Cover in $O(\log^3 n)$ Worst Case Update Time

Sayan Bhattacharya, Monika Henzinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、辺の挿入または削除ごとに最悪計算量 $O(\log^3 n)$ の更新時間で、$(2+\epsilon)$-近似最大分数マッチングおよび最小頂点被覆を維持する決定的完全動的アルゴリズムを提示する。この手法は、ノードの階層的分割とピボット操作による辺重みの調整を用いて、最悪計算量の効率性を保証し、動的マッチング問題における、平均的時間と最悪計算量時間の間の長年のギャップを埋める。

ABSTRACT

We consider the problem of maintaining an approximately maximum (fractional) matching and an approximately minimum vertex cover in a dynamic graph. Starting with the seminal paper by Onak and Rubinfeld [STOC 2010], this problem has received significant attention in recent years. There remains, however, a polynomial gap between the best known worst case update time and the best known amortised update time for this problem, even after allowing for randomisation. Specifically, Bernstein and Stein [ICALP 2015, SODA 2016] have the best known worst case update time. They present a deterministic data structure with approximation ratio $(3/2+ε)$ and worst case update time $O(m^{1/4}/ε^2)$, where $m$ is the number of edges in the graph. In recent past, Gupta and Peng [FOCS 2013] gave a deterministic data structure with approximation ratio $(1+ε)$ and worst case update time $O(\sqrt{m}/ε^2)$. No known randomised data structure beats the worst case update times of these two results. In contrast, the paper by Onak and Rubinfeld [STOC 2010] gave a randomised data structure with approximation ratio $O(1)$ and amortised update time $O(\log^2 n)$, where $n$ is the number of nodes in the graph. This was later improved by Baswana, Gupta and Sen [FOCS 2011] and Solomon [FOCS 2016], leading to a randomised date structure with approximation ratio $2$ and amortised update time $O(1)$. We bridge the polynomial gap between the worst case and amortised update times for this problem, without using any randomisation. We present a deterministic data structure with approximation ratio $(2+ε)$ and worst case update time $O(\log^3 n)$, for all sufficiently small constants $ε$.

研究の動機と目的

• 動的近似最大マッチングおよび最小頂点被覆における、最高の既知の平均的時間と最悪計算量時間の間の多項式的ギャップを埋めること。
• 確率的要素を避けることで最悪計算量の保証が制限されるのを防ぐ、多対数的最悪計算量更新時間を持つ決定的アルゴリズムを設計すること。
• 一般グラフにおける完全動的辺更新の下で、$(2+\epsilon)$-近似分数マッチングおよび頂点被覆を維持すること。
• 強力な近似比を保ちながら、最悪計算量更新時間 $O(\log^3 n)$ を達成すること。
• 一般グラフにおける多対数的最悪計算量更新時間を持つ基礎的決定的動的グラフアルゴリズムを提供し、長年の未解決問題を解決すること。

提案手法

• ノードの次数とマッチング状態に基づいて、ノードをレベルに階層的に分割することで、局所的な更新を効率的に行える。
• 任意のノードに接続する辺の重みの合計が1以下になるように、分数マッチングを維持する。
• 主要な構成要素として、辺の挿入・削除の下で不変性を保つために、エッジ重みとノード状態を調整する PIVOT-DOWNサブルーチンが存在する。
• 各ノードごとに状態マシン（例：Up, Down, Up-B, Down-B）を用いて、局所的なマッチング行動を追跡し、ピボット操作を誘導する。
• 汚染されたノードを特定し、FIX-DIRTY-NODEを用いて処理することで、更新後にグローバルな不変性が保たれるようにする。
• ピボット操作の回数を制限し、潜在関数を用いて更新をレベルに割り当てる分析により、$O(\log^3 n)$ の最悪計算量時間であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的完全動的アルゴリズムが、近似最大マッチングにおいて多対数的最悪計算量更新時間を持つことができるか？
• RQ2 $(2+\epsilon)$-近似分数マッチングおよび頂点被覆を $O(\log^3 n)$ の最悪計算量更新時間で維持することは可能か？
• RQ3 階層的ノード分割とピボット操作をどのように用いて、動的更新の下で不変性を維持できるか？
• RQ4 完全動的マッチングにおいて、近似比と最悪計算量更新時間のトレードオフは何か？
• RQ5 確率的要素を用いずに、平均的時間と最悪計算量時間のギャップを埋めることは可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、最大分数マッチングおよび最小頂点被覆の両方で $(2+\epsilon)$-近似を達成する。
• すべての十分に小さい定数 $\epsilon$ に対して、最悪計算量更新時間は $O(\log^3 n)$ であり、$m$ に依存しない。
• この結果により、動的マッチングにおいて、平均的時間と最悪計算量時間の間の長年のギャップが埋められ、確率的要素を用いた場合でも同様に成立する。
• アルゴリズムは決定的であり、二部グラフや低分岐数グラフに制限されない一般グラフで動作する。
• 最大マッチングのサイズは、最大分数マッチングが整数マッチングサイズの $3/2$ 倍以内であるため、$(3+\epsilon)$ 要因で近似される。
• これは、一般グラフにおける動的マッチング問題で、多対数的最悪計算量更新時間を持つ、初めて知られている決定的完全動的アルゴリズムである。